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hanna
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. September, 1999 - 15:18: | 
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Wer hilft mir????
Was genau kann ich mit diesen "Gesetzen" machen? wofür sind sie gut? oh, mann, und ich soll am 14. klausur schreiben??*müdesgrinsen*
eure hanna |
Clemens Scholl
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. September, 1999 - 14:00: |
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Liebe Hanna,
das wichtige ist einfach, dass du dir die Gesetze erst einmal genau merkst. Die Axiome einer Kommutativen (oder abelschen) Gruppe sind :
Sei G eine Gruppe, a,b,c Elemente dieser Gruppe (unter einer Gruppe musst du dir einfach eine Menge vorstellen, die Elemente enthaelt, und mit dessen Elementen man operationen durchfuehren kann (meistens addieren oder multiplizieren, es gibt aber auch andere))
Wenn also G eine Gruppe ist, und ich die operation
"+" nenne, dann muessen volgende Eigenschaften erfuellt sein :
A Die sogennante Abgeschlossenheit : wenn ich zwei Elemente aus G miteinander "verknuepfe" (technischer ausdruck fuer "operation "+" durchfuehren), muss das Ergebnis der Verknuepfung wieder in G liegen, und zwar muss dies fuer alle Elemente von G gelten (sonst ist G keine Gruppe)
Mathematisch ausgedruekt :
Fuer alle a und b aus G muss gelten : a+b ist aus G.
B Die existenz des neutralen Elements : Es gibt ein element in jeder Gruppe, das bezueglich der gegebenen operation "neutral" ist, d.h. das die verknuepfung eines beliebigen elements aus der Gruppe mit diesem neutralem Element nichts veraendert am augangselement.
Einfacher ausgedrueckt : Sei dieses Element "0" genannt, Dann muss gelten, wenn G eine Gruppe ist : Fuer alle a aus G existiert ein Element "0", so dass a+0=a ist
C Existenz des inversen Elements : hier geht es um die "erzeugung" des neutralen Elements : Jedes Element der Gruppe muss ein "inverses" Element besitzen, so dass die verknuepfung der beiden das Neutrale element erzeugt.
Wird das inverse element zu a "-a" genannt, ist die Eigenschaft sofort klar :
Damit G eine Gruppe bildet, muss gelten: Fuer alle a aus G existiert ein -a aus G so dass a+(-a)=0 ist.
D Assoziativitaet : hier geht es um die reihenfolge der ausfuehrung, wenn gleichzeitig mehrere Elemente aus der gruppe verknuepft werden.
Damit G eine Gruppe ist, muss gelten : fuer alle a,b,c aus G ist a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)
Diese Eigenschaften charakterisieren eine sogennante Gruppe, d.h. ein tupel (G,+) (also eine Menge und eine Verknuepfung) ist dann und nur dann eine Gruppe, wenn es diese Eigenschaften erfuellt.
Eine "normale" Gruppe kann man erweitern, in dem man sog. kommutative Gruppen einfuehrt. Das ist nicht sehr komliziert, es wird einfach nur ein zusaetzliches Gesetz gefordert, naemlich dass je zwei elemente einer Gruppe bezueglich der verknuepfung "kommutieren", d.h. "vertauschbar sind" :
Fuer alle a,b aus G muss gelten : a+b=b+a
Was kannst du nun damit anfangen ??
Das kommt ganz darauf an, warum die Struktur "gruppe" eingefuehrt worden ist. Nach deiner Anfrage zu urteilen sind Gruppen jedoch eher nur am Rande eingefuehrt worden, was darauf schliessen laesst, dass es hauptsaechlich darum geht, dass du verstanden hast, was mit einer "Kommutativen Gruppe" gemeint ist.
Wenn du wissen willst, ob du's verstanden hast,versuche doch die folgenden Aufgaben zu Gruppen zu loesen (sind Typische Klausuraufgaben):
- Sind volgende Mengen Gruppen? Warum? Warum nicht? N,Q,Z,R,N+0,Z\0
- Zeige (mit hilfe der "gesetze") :
a. Es gibt nur ein einziges neutrales Element in jeder Gruppe (beweis indirekt fuehren, d.h. "man nehme an, es gaebe zwei verschiede, dann folgt,...)
b. Z ist eine Kommutative Gruppe (Gesetze Nachpruefen)
Ich hoffe, dass ich dich mit alldem nicht erschlagen hab, und dass es dir etwas genuetzt hat (fuer rueksprache stehe ich gern zur verfuegung, einfach mailen). Viel Glueck fuer die Klausur !!!
Clemens |
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