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Beitrag |
    
Vega K.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 17:05: | 
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Hallo
Wer kann mir bei der folgenden Kegelschnittaufgabe helfen.?
Wie lautet die Gleichung einer Ellipse, deren höchster und tiefster
Punkt die Koordinaten (2/5) bzw. (-8/-3) hat und die durch den
Nullpunkt geht ?
Vielen Dank zum voraus
Vega K.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 19:49: |
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Hi Vega,
Für die Gleichung des Kegelschnitts wählen wir den Ansatz
A x^2 + 2 B x y + C y^2 + 2 D x + 2 E y + F = 0
Wir wählen a priori A = 1 (Normierung)
Zur Ermittlung der fünf übrigen Koeffizienten müssen
fünf unabhängige Bedingungen gegeben sein.
Durch die Aufgabestellung ist dies gewährleistet.
Die Ellipse geht durch den Nullpunkt O(0/0) (Bed.1)
Die Ellipse berührt die Gerade y = 5 (Bed. 2);
zugehöriger Berührpunkt: Hochpunkt H(2/5) (Bed. 3)
Die Ellipse berührt die Gerade y = -3 (Bed. 4);
zugehöriger Berührpunkt: Tiefpunkt T(-8/-3) (Bed. 5)
Wir wandeln diese Bedingungen unter Ausnützung der
zentralen Symmetrie bezüglich des Mittelpunktes M
der Ellipse um .
M ist der Mittelpunkt der Strecke HT; es kommt:
M(-3/1).
Wir spiegeln den Nullpunkt O an M; Resultat
P(-6/2)) ist der gespiegelte Punkt.
Tableau der Bedingungen, neu formuliert:
Die Ellipse geht durch den Nullpunkt O(0/0) (Bed.I)
Die Ableitung y´ aus der Ellipsengleichung in H ist null (Bed.II)
Die Ellipse geht ausserdem durch folgende Punkte:
durch H(2/5) (Bed.III)
durch T(-8/-3)) (Bed.IV)
durch P(-6/2) (Bed.V)
Wegen Bed. (I) setzen wir sofort F = 0
Um an die Ableitung heranzukommen, differenzieren wir
die Gleichung
x^2 + 2 B x y + C y^2 + 2 D x + 2 E y = 0
implizit nach x ; Ergebnis :
2 x + 2 B y + 2 B x y ´+ 2 C y y ´ + 2 D + 2 E y ´= 0,
aufgelöst nach y ´ :
y ´ = - [ x + B y + D] / [ B x + C y + E ]
Nach der Bedingung (II) folgt mit y´ = 0 für H:
2 + 5 B + D = 0 ; es ist nützlich, die analoge Bedingung für T
zu notieren:
- 8 – 3 B + D = 0
Eliminiert man D , so kommt:
B = - 5 / 4 , mithin D = - 2 - 5 B = 17 / 4
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Umsetzung der Bedingungen (III),(IV),(V):
25 C + 4 D + 10 E = 21
9 C – 16 D – 6 E = - 4
2 C - 6 D + 2 E = - 33
D = 17 / 4 ist schon bekannt und fügt sich prächtig in das
System ein ; warum wohl ?
Die beiden andern Unbekannten C und E ergeben sich zu:
C = 83 / 30 , E = - 391 / 60
Die Koordinatengleichung der gesuchten Ellipse lautet somit
60 x ^2 – 150 x y + 166 y ^2 + 510 x – 782 y = 0
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MfG
H.R.Moser,megamath
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Vega K.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 19:14: |
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Hallo H.R.Moser,megamath
Besten Dank für Deine Lösung !
mfG
Vega K.
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