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Beitrag |
    
Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 221
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Mai, 2002 - 19:07: | 
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Hi!
Weiss einer wie ich das beweisen kann??
Ich muss ja jetzt zeigen, dass eine Bijektion von N in Q existiert, aber wie...
Und wie kann ich dann zeigen, dass R nicht abzählbar ist??
MfG
C. Schmidt |
Kirk (kirk)
Mitglied
Benutzername: kirk
Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Mai, 2002 - 21:56: |
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Hi Christian,
wenn du geeignete Literatur hast, kannst du unter "Cantorsches Diagonalverfahren" schauen. Findest du bestimmt auch im Internet.
Dass R nicht abzählbar ist, kann man z.B. per Widerspruch zeigen. Angenommen, ich habe die Dezimaldarstellung aller reellen Zahlen untereinander geschrieben und die Zahlen durchnummeriert. Dann kann ich eine weitere Zahl konstruieren, die mit keiner davon übereinstimmt, was beweist, dass diese abzählbare Menge nicht alle reellen Zahlen enthalten kann:
Wähle diese Zahl so, dass sie an der ersten Stelle nach dem Komma nicht mit der ersten Zahl übereinstimmt, an der zweiten Stelle nicht mit der zweiten usw.
Grüße,
Kirk |
Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 227
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 16:47: |
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Hi Kirk
Vielen Dank für die Antwort. Ich finde das cantorsche Diagonalverfahren zwar in mehreren Büchern von mir, aber nirgends einen Beweis dazu, und gerade den hätte ich gerne ;)
Wenns nicht zuviel Aufwand ist, kannst du(oder jemand anderes) ihn hier führen??
MfG
C. Schmidt |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 18:06: |
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Hallo Christian,
http://www.mathematik.uni-trier.de/studieninfos/stundenplan/SS02/5.shtml
Ab Seite 76. Dann solltest du verstehen, warum das auch "ohne Beweis " direkt geht (S.76, Bemerkung 8.2)
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 18:45: |
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Ergänzung:
Mußt natürlich auch das Skript downloaden !!!
Und brauchst Acrobat Reader oder Ghostview, sind aber beide kostenlos.
****grins****
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
Nicole
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 19:16: |
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Stevenerkel,
Nur zwei Beiträge für die Antwort?
Du scheinst Dich zu bessern! |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 19:51: |
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Dank Zaph !
Besser 2 als keine, oder ?
Jaja, ich weiß, jetzt werden wieder intolerante Leute schreien:"DOCH!"
Deshalb im Voraus: Packt euch an eurer Nase !!!
CU
STEVENERKEL |
Tyll (tyll)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: tyll
Nummer des Beitrags: 77
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Mai, 2002 - 11:50: |
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Anderer Weg:
Eine nicht leere Menge M ist abzählbar <=> Es ext. eine surj. Abbildung f:N->M.
I) Wir zeigen: Das cartesische Produkt zweier Mengen ist abz.
Seinen also M,L abz. Mengen und a:N->M und b:N->L surj.
Für jede natürliche Zahl n gibt es eine eindeutige Darstellung durch 2p3q mit p,q aus N.
Seien m aus M und l aus L.
Setze g:N->MxL,
n->(a(p);b(q)), falls es p,q gibt mit n=2p3q
(m;l) sonst
Ist x aus M und y aus L, so ext. p,q aus N mit x=a(p), y=b(q). Setzt man n:=2p3q, so folgt g(n)=(a(p);b(q))=(x;y), also ist (x;y) im Bild von g. Also ist g surj.
II) Z ist abz.
Mit g:N->Z,
n->n/2, falls n gerade
-(k-1)/2, falls n ungerade
ist eine surj Abb. von N nach Z definiert.
III) Q ist abz.
h: NxZ->Q, (z;n)-> z/n ist nach Def. von Q surjektiv.
Nach I) und II) ist dann die Hintereinanderausführung von h nach g eine surj. Abbildung von N nach Q.
Gruß
Tyll |
Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 229
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Mai, 2002 - 13:15: |
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Hi Tyll
Kleine Frage zu deinen Ausführungen...muss die Abbildung f:N->M nicht auch injektiv, also bijektiv sein, damit M abzählbar ist?
MfG
C. Schmidt
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Tyll (tyll)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: tyll
Nummer des Beitrags: 80
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Mai, 2002 - 13:40: |
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Hi Christian!
Nein, muß sie nicht. Alle Teilmengen von N sind ja auch abzählbar, was sonst nicht der Fall wäre. Es gibt aber endliche, abzählbare Mengen und unendliche abzählbare Mengen. Letztere haben dann eine bij. Abb. von N auf M.
Gruß
Tyll |
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