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Wolfgang
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 09:40: | 
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"Von einer Ellipse mit den Halbachsen a=8cm und b=5cm wird seitlich ein Kreisbogen ausgestanzt. Wie ist Lage und Radius der Kreisbogens zu wählen, dass der Umfang der Restfigur maximal wird?"
Ich komm' da einfach nicht weiter :-(
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Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 112
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 11:51: |
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auf beiden seiten?
kreismittelpunkt auf der verlängerten grossen halbachse? |
Wolfgang
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 14:30: |
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Nach der Tafelskizze liegt der Kreismittelpunkt rechts auf der verlängerten großen Halbachse. |
Nikita
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Mai, 2002 - 09:06: |
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Die Aufgabe ist doch quatsch! |
Wolfgang
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Mai, 2002 - 14:18: |
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Danke, Nikita, aber das wusste ich schon!
Nur: du musst diesen Quatsch nicht bearbeiten, ich schon. Und ich bleib halt beim Integral für die Ellipsenbogenlänge hängen, Pech gehabt. Tut mit leid, wenn du dich durch meine Frage belästigt fühlst.
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Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 118
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Mai, 2002 - 16:09: |
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hallo wolfgang,
leider kann ich dir nicht richtig weiterhelfen, ich kann dir nur so viel sagen:
Das Integral für die Ellipsenbogenlänge ist nicht elementar lösbar und da du erst in der 12. oder 13. bist, würde ich sagen muss man es auch irgendwie ohne lösen können.
ok mir kommt da gerade ne idee, wie man es machen könnte:
erste überlegung:
bei gegebener schnittstelle x1 wird der ausgestanzte kreisbogen maximal, wenn der kreismittelpunkt bei x1 liebt, und der radius dann natürlich y1 ist.(soviel erstmal zur lage des kreises)
ich betrachte die figur nun im ersten quadranten (x>0,y>0).
für die ellipse mit der grossen halbachse a und der kleinen halbachse b gilt:
y=b/a*sqrt(a^2-x^2)
y'=-b*x/(a*sqrt(a^2-x^2)
für die bogenlänge von x=0 bis x1 gilt dann:
ò0 x1sqrt(1+b^2*x^2/(a^4-a^2*x^2))dx
und für die bogenlänge der figur im ersten quadranten:
B(x1)=p/2*y1 + ò0 x1sqrt(1+b^2*x^2/(a^4-a^2*x^2))dx
=p/4*b/2*sqrt(a^2-(x1)^2) + ò0 x1sqrt(1+b^2*x^2/(a^4-a^2*x^2))dx
B'(x1)=-p/2*b*x1/(a*sqrt(a^2-(x1)^2)+sqrt(1+b^2*(x1)^2/(a^4-a^2*(x1)^2)-1
B'(x1)=0
lifert:
1. 0
2. -4*pi*a^2/(16*a^2*pi^2+b^2*pi^4- 8*b^2*pi^2+16*b^2)^(1/2)
3. 4*pi*a^2/
(16*a^2*pi^2+b^2*pi^4-8*b^2*pi^2+16*b^2)^(1/2)
1. und 2. entfallen
x1=4*pi*a^2/
(16*a^2*pi^2+b^2*pi^4-8*b^2*pi^2+16*b^2)^(1/2)
einsetzen von a=8 und b=5 liefert:
x1=256/(824*pi^2+25*pi^4+400)^(1/2)*pi
rund 7,679455833
ich bin mir aber nicht 100%ig sicher, ob man so rechnen kann, also konkret an der stelle wo ich das integral der bogenlänge der ellipse differenziere.
ich hab mir einfach bedacht, gesetz es gibt eine stammfunktion F(x), die ich aber nicht bestimmen kann, dann ist das integral bekanntlich:
F(x1)-F(0)
wenn man diesen ausdruck dann differenziert, dann müsste meiner meinung nach:
f(x1)-f(0) rauskommen.
MfG Theo
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Schuster (s_oeht)
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| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Mai, 2002 - 16:10: |
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ich habe einmal ausversehen pi/4 anstelle von pi/2 geschrieben |
Wolfgang
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Mai, 2002 - 17:21: |
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Hallo Schuster,
vielen Dank für deine Mühe!
Aber ich habe jetzt 3 Probleme:
(1) Du sagst, das Integral für die Ellipsenbogenlänge ist nicht elementar lösbar. Es gibt als keine exakte Formel? Wir haben schon bestimmte Integrale mit der Simpson-Regel angenähert. Könnte es so gemeint sein?
(2) Warum darf man einfach annehmen das es genau ein Halbkreis ist?
(3) Ich habe deine Lösung x1=7.679 mal maßstäblich eingezeichnet. Der Radius des Halbkreises ist dann 1.401 und sieht ziemlich mickrig im Vergleich zur Ellips aus. Kann das die Lösung sein?
Viele Grüße
Wolfgang
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Schuster (s_oeht)
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| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Mai, 2002 - 20:12: |
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(1)nicht elementar lösbar heisst nicht das sie nicht lösbar sind
für ein viertel des unfangs ergibt sich zum beispiel:
2*pi*a*[1-0,5^2*e^2-(1*3/2/4)*e^4/3-(1*3*5/2/4/6)^2*e^6/5-.....]
e ist die numerische exzentrizität
ich wollte damit eigentlich nur zum ausdruck bringen, dass die lösung der integrale keine für die lösung deine aufgabe gewinnbringende form haben.
(2)die annahme das es sich bezüglich der ellipsenhälfte um einen ausgestanzten halbkreis handelt, habe ich durch meine anfänglichen überlegungen begründet.
ich habe es mir folgendermassen überlegt:
radius und lage des kreismittelpunktes sind frei wählbar. bei gegebener schnittstelle x1, zwischen ellipse und kreis, wird der ausgestanzte kreisbogen maximal, wenn der kreismittelpunkt bei x1 liegt, und der radius dann natürlich y1 ist.
(3)wenn du dass ergebnis betrachtest darfst du eines nicht ausser acht lassen:
1. es sind immer halbkreise
2.der halbkreis muss gegenüber des ellipsenrestes maximal werden
wenn gilt:
x1=a*(a^2-b^2)/(b^2+a^2)
konkret: 3,505617
ist der radius genauso lang, wie der ellipsenrest.
längenmässig dürfte der halbkreis aber noch nicht viel länger sein als der ellipsenrest.
wenn jetzt x1 grösser wird, wird der radius grösser, als die länge des ellipsenrestes und der unterschied demnach auch zu gunsten des halbkreises grösser.
aber wie schon gesagt ich bin mir nicht sicher, ob es richtig ist!
MfG Theo
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Schuster (s_oeht)
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| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Mai, 2002 - 20:35: |
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ist aber irgendwie trozdem ziemlich nah dran!!
ich habs mal schnell für ne kleinere ellipse ausgerechnet(a=2, b=1) da wäre x1=1,94759, also extrem nah an a dran.
ich glaube wir solten mal jemand anderes um hilfe fragen!
MfG Theo |
Schuster (s_oeht)
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| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Mai, 2002 - 20:40: |
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bitte an H.R.Moser,megamath,
hallo H.R.Moser, könntest du dir mal meine rechnung im obigen beitrag ansehen (18. Mai, 2002 - 17:09).
ich bin unsicher, ob man das überhaupt so rechnen kann und mein ergebnis ist irgendwie etwas fragwürdig.
Ich frage dich, weil ich mir ziemlich sicher bin, das du hier weiterhelfen kannst.
MfG Theo |
Wolfgang
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 07:45: |
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Guten Morgen.
Entschuldige wenn ich weiter auf dem Halbkreis rumreite. Ich kann es zwar nicht ausrechnen aber scau dir bitte meine Zeichung an: Zuerst Ellipse mit Halbkreis. Dann derselbe Kreis ewtas nach links verschoben (die Markierung zeigt, wo der Halbkreis war). Der Umfang der Restfigur wird doch um die beiden Spitzen rechts von der Markierung größer, oder? Das geht doch für jeden beliebigen Radius?
Wo ist mein Denkfehler? Aber wenn es kein Halbkreis ist habe ich doch wieder 2 Unbekannte (Kreismittelpunkt und Radius)?
Bin frustriert :-(
Wolfgang
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Schuster (s_oeht)
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 09:27: |
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tja da muss ich dir wohl recht geben.
aber wie du schon erkannt hast haben wir dann wieder zwei unbekannte!
die frage ist jetzt blos, wie man die problematik auf eine unbekannte reduziert. |
Maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 12:00: |
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Kreismittelpunkt im Ellipsenmittelpunkt.
Kreisradius = b
Ergibt Maximum= a*b*pi + r*pi
oder
r = a noch größer
Ich glaube Nikita (oben) hat Recht! |
Wolfgang
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 14:12: |
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Hallo Maxi!
Ich glaube du verwechslest in deiner Formel Fläche und Umfang, und r=a ist der Umkreis der Ellipse!?
Die Idee mit r=b im Mittelpunkt hatte ich auch schon. Aber der Halbkreis ist sicher kürzer als der halbe Ellipsenumfang - ich soll aber den Umfang größer, nicht kleiner machen.
Trotzdem danke für deine Mitarbeit. (Nikita hat sowieso recht)
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Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 19:04: |
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hallo wolfgeng ich hab ne idee, aber vorerst ohne beweis:
ich glauber der umfang wird max. , wenn der kreismittelpunkt bei (a^2-b^2)/a liegt und den radius r=a-(a^2-b^2)/a hat.
die figur ist dann nur im punkt p(a|0) offen und als umfang ergibt sich:
ellipsenumfang + (a-(a^2-b^2)/a)*2*pi
ansonsten hab ich mir noch folgende dinge überlegt:
1.fakt ist, der kreis liegt mehr als zur hälfte in der ellipse.
2. wenn wir uns wieder eine schnittstelle x1 denken, ist nun die frage, wie sieht der kreis aus, der mit max. umfang in der ellipse liegt und sie an der stelle x1 schneidet.
dabei habe ich folgendes herausgefunden:
x1=x2*a^2/(a^2-b^2)
wobei x1 die schnittstelle und x2 die lage des kreismittelpunktes ist.
der radius ist dann: r=sqrt((y1)^2+(x1-x2)^2)
und der kreisbogen:
arctan(y1/(x1-x2))*r
das grosse problem ist blos, dass die terme extrem unhantlich werden und auch schon sind, wenn man nur einmal bedenkt, dass y1=f(x1)ist und x2=(a^2-b^2)*x1/a^2.
vieleicht hast du ja ne idee dazu.
MfG Theo |
Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 19:07: |
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wo hast du die aufgabe eigentlich bekommen?? |
Maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 20:27: |
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Was soll denn Max werden?
Der Kreisbogen?
Der Ellipsenbogen?
Die Summe von beiden?
Deshalb ist die Aufgabe "quatsch"! |
Wolfgang
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 09:01: |
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Guten Morgen Theo, und vielen Dank für deine Mühe!
Sei mir micht bös, aber ich hab schon wieder eine Zeichnung gemacht (da kann ich mir das einfach besser vorstellen).
Wenn ich dich recht verstehe berührt der Kreis die Ellipse von innen? Das klingt wirklich gut! Aber warum nur in einem Punkt? Bei der 2. Zeichnung ist der Kreis etwas größer und berührt die Ellipse auch von innen aber in 2 Punkten. Da fällt zwar der Ellipsenbogen rechts von den Berührungspunkten weg. Wenn aber z.B. nur 5% von der Ellipse wegfallen und dafür 95% von einem größeren Kreis dazukommen, wiegt sich das nicht zu Gungsten des Kreisbogens auf? Natürlich allzugroß darf der Kreis aber auch nicht werden, sonst haben wir im Extremfall den Halbkreis von Maxi!
Ich glaube die Bedingung "berührt von innen" ist die Lösung für das Problem der zwei Unbekannten, das würde mir gefühlsmäßig einleuchten. Wenn man den x-Wert der Berührungspunkte vorgibt müssen sich doch Kreismittelpunkt und Radius eindeutig berechnen lassen? Und dann müssen wir zeigen das die 1.Ableitung des Umfangs =0 wird und die 2.Ableitung <0 ist? Stimmt das?
Zu deiner Frage: Ich hab mich leichtsinnigerweise für eine freiwillige Projektarbeit "für besonders Interessierte" gemeldet. Ist aber wohl eine Nummer zu groß für mich.
Maxi: ich möchte dir nichts unterstellen, aber ich glaube du hast mir mehr geholfen als du eigentlich wolltest.
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Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 140
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| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 12:05: |
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ja das ist mir auch schon aufgefallen.
man muss irgendwie wirklich mit diesen formeln hier weiterrechnen:
x1=x2*a^2/(a^2-b^2)
wobei x1 die schnittstelle und x2 die lage des kreismittelpunktes ist.
diese formel hier liefert die für einen gegebenen kreismittelpunkt die lage des schnittpunktes, so, dass der kreis die ellipse von innen berührt. musst sie mal ausprobieren, bei mir hat es immer funktioniert.
der radius ist dann: r=sqrt((y1)^2+(x1-x2)^2)
und der kreisbogen:
(pi-arctan(y1/(x1-x2))*r
MfG Theo
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Wolfgang
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 13:36: |
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Freude :-))
ich kann jetzt deine Formeln nachrechnen!!
Wenn sich Kreis und Ellipse bei x1 berühren, dann haben sie doch die gleiche Tangentensteigung k. Und die Ableitung der Ellipse kann ich ja ausrechnen. Dann weiß ich das die Normale auf die Kreistangente durch den Mittelpunkt geht und der liegt ja auf der x-Achse. Und die Steigung der Normalen ist n=-1/k haben wir aufgeschrieben. Das ergibt
n = a*\sqrt(a²-x1²)/(b*x1)
Dann hab ich die Geradengleichung durch den Punkt (x1/y1) mit Steigung n aufgestellt und mit der x-Achse geschnitten. Ergibt nach etwas Schreibarbeit
x2 = x1*(a²-b²)/a²
Ja, nachrechnen wenn man weiß was herauskommen soll ist immer einfacher.
Ich glaub jetzt sind wir ganz nah dran! Endlich! Könntest du nicht mit deinen höheren Methoden die Lösung ausrechnen? Egal wenn ich's nicht kapiere, aber ich sehe was herauskommen soll und könnte es vielleicht mit Schulmathematik probieren.
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Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 145
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| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 14:01: |
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hallo wolfgang,
schön dass du das gleiche ergebnis erhalten hast, wie ich. :-)
ich muss dich aber leider etwas entäuschen, auch wenn wir der lösung scheinbar schon so nah sind ist der ansatz nicht richtig brauchbar.
wir können zwar jetzt die problematik auf eine grösse (x1 oder x2) reduzieren, aber als preis dafür werden die terme so kompliziert (hab ich in einem früheren beitrag schonmal erwähnt).
wenn wir nämlich alle grössen, wie radius, x1 oder x2, oder den winkel mit x2 oder x1 ausdrücken, erhalten wir richtige hammerterme, was mich vermuten lässt, das noch irgendwas falsch, oder zu kompliziert betrachtet wurde.
denn die terme sind so gross, dass man nicht mehr damit rechnen kann. ich habe mal maple damit rechnen lassen und kein wirklich brauchbares ergebnis erhalten.
ausserdem muss ich dich nochmal enttäuschen, ich bin erst 12. und hatte noch gar keine analytische geometrie, kann also nicht wirklich mit höheren methoden auftrumfen.
Aber ich habe jetzt nochmal jemanden gebeten sich das problem anzusehnen, der uns bestimmt weiterhelfen kann.
MfG theo |
Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 146
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| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 14:51: |
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mir ist gerade aufgafallen, das die zielfunktion, die ich erhalte garnicht extremal wird (so ein mist)
aber vieleicht hab ich mich auch irbendwo vertan:
r=sqrt((y1)^2+(x1-x2)^2)
sei x2=x und demnach x1=x*a^2/(a^2-b^2)
x1=64/39*x
r=sqrt((5/8*sqrt(64-(64/39*x)^2))^2+(64/39*x-x)^2)
=5/39*sqrt(1521-39*x^2)
winkel:
pi-arctan(5/8*sqrt(64-(64/39*x)^2)/(64/39*x-x))
pi-arctan(1/5*(1521-64*x^2)^(1/2)/x)
abgeleitete ellipsenbogenlänge:
1/8*sqrt(64+25*(x1)^2/(64-(x1)^2))-1
=1/39*sqrt(1521+1600*x^2/(64-4096/1521*x^2))-1
=sqrt(39)*sqrt((-39+x^2)/(-1521+64*x^2))-1
zu lösen wäre dann letzten endes:
-(5*x*sqrt(1521-64*x^2)*pi-5*x*sqrt(1521-64*x^2)*arctan(1/5*(1521-64*x^2)^(1/2)/x)-975-sqrt(39)*sqrt((-39+x^2)/(-1521+64*x^2))*sqrt(1521-39*x^2)*sqrt(1521-64*x^2)+sqrt(1521-39*x^2)*sqrt(1521-64*x^2))/(1521-39*x^2)^(1/2)/(1521-64*x^2)^(1/2)=0
bzw.
-(5*x*sqrt(1521-64*x^2)*pi-5*x*sqrt(1521-64*x^2)*arctan(1/5*(1521-64*x^2)^(1/2)/x)-975-sqrt(39)*sqrt((-39+x^2)/(-1521+64*x^2))*sqrt(1521-39*x^2)*sqrt(1521-64*x^2)+sqrt(1521-39*x^2)*sqrt(1521-64*x^2))=0
beide haben aber keine nullstelle, :-(
ich hab maple rechnen lassen und die funktionen mal gezeichnet (zeichnen lassen)
vieleicht findest du ja den fehler, gleich zu beginn, wo ich alles (r, winkel, ...) mit der x koordinate des kreismittelpunktes ausgedrückt habe.
MfG theo |
Wolfgang
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 15:15: |
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Also bis zur Zeile "abgeleitete ellipsenbogenlänge:" kann ich deine Formeln nachvollziehen und erhalte die gleichen Ergebnisse. Aber dann: bist du inzwischen sicher, das man das Integral so ableiten darf (da hattest du ja ganz am Anfang Zweifel)? Da steige ich jedenfalls aus.
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Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 147
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 15:57: |
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ne bin nicht sicher
ich habe es wieder nach dem schema
int[f(x)]dx=F(b)-F(a)
(int[f(x)]dx)'=(F(b)-F(a))'=F'(b)-F'(a)=f(b)-f(a)
gemacht.
in unserem fall ist a=0 und b=x1, dann müste man auf meine obigen terme kommen.
also wie gesagt, bin mir nicht sicher.
wenn die stammfunktion existiert, bin ich mir sicher, das man dass so machen darf, schliesslich ist die menge der stammfunktinen ja so definiert.
die frage ist ebend, was passiert, wenn es nicht wirklich eine stammfunktion, in der uns verterauten art gibt. aber ich glaube schon, dass man dass so machen kann, bzw. wüsste jetzt erstmal nichts, was total dagegen sprechen sollte.
und wenn es nicht so geht, wwie soll man denn die aufgabe sonst rechnen?
bis wann brauchst du denn die lösung?
MfG theo |
Wolfgang
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 16:53: |
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ich kann bis zum Donnerstag aufgeben und das Projekt zurücklegen. Wär zwar echt peinlich, aber was soll's?
ein trauriger Wolfgang :-((
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Niels (niels2)
Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 17:02: |
|
Nur ganz nebenbei als kleine information zur Umfangsberechnung von Ellipsen:
http://www.mathematik-online.de/F57.htm#Ellipse
Gruß N.
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Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 149
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 18:15: |
|
ich habe jetzt irgendwie doch einen wert rausbekommen:
x=39/8=4,875 , als kreismittelpunkt
das ist dann aber genau der fall, den ich schonmal als lösung vorgeschlagen habe
kreismittelpunkt bei (a^2-b^2)/a und den radius r=a-(a^2-b^2)/a
komisch.
also maple hat mir als ableitung der ellipsenbogenlänge den term:
64/39*(-39+x^2)*39^(1/2)/(64*x^4-4017*x^2+59319)^(1/2)/(1/(-1521+64*x^2))^(1/2)/(-1521+64*x^2)^(1/2)
gegeben.
und wenn man kürzt:
64/39*(-39+x^2)*39^(1/2)/(64*x^4-4017*x^2+59319)^(1/2)
|x|>39/8
damit habe ich dann gerechnet
wenn man nicht kürzt gilt aber:
lim(B'(x))=0
x->4,875
MfG theo |
Wolfgang
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 18:52: |
|
ja aber fehlt da nicht der Keisbogen? Wenn du nur die Ellipsenbogenlänge ableitest muss doch als Maximum der ganze Viertelbogen herauskommen und das ist wenn der Kreis nur im Punkt (a/0) berührt. Wir müssen doch Ellipsenbogen+Kreisbogen maximieren und die Kreibogenlänge hängt doch auch von x2 ab? Oder steh ich jetzt total auf der Leitung?
Niels: Danke!
|
Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 150
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 18:59: |
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also ich hab das jetzt auch mal gezeichnet und bin sehr sicher, dass es stimmt!!!!
deine skizze war blos schlecht.
bei meiner schon vorher vorgeschlagene lösung sollte der radius ja r=a-(a^2-b^2)/a
also r=25/8=3,125 d=6,25 !!!
meine lösung ist sozusagen der grösst mögliche kreis, der die ellipse im punkt p(a|0) berührt!!!
der knackpunkt, warum nur der limes null wird ist meiner meinung nach , weil meine formel:
x1=x2*a^2/(a^2-b^2)
nur für werte von x2 funktionier, für die gilt:
x2<=(a^2-b^2)/a
Mfg Theo :-)
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Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 151
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| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 19:01: |
|
ich hab den kreisbogen mit einbezogen!
(nur nicht mit hingeschrieben) |
Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 152
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 19:09: |
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hab gerade gesehen, das deine skizze doch hinkommt!
ABER:
guck sie dir mal genau an!
der kreis ist zwar grösser, aber es fehlt ein ziemlich grosser kreisbogen und auch ein grosser ellipsenteil!!!
MfG theo
MfG Theo |
Niels (niels2)
Mitglied
Benutzername: niels2
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| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 21:15: |
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Hallo,
ich denke wir sollten erstmal die Gedanke ordnen.
Was ist geanau gegeben?
Was ist genau gesucht?
Was versteht ihr unter dem "Restkörper"?
@Schuster:
Welche Zielfunktion hast du verwendet?
Gruß N. |
Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 157
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 22:13: |
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@niels
gegeben ist:
a=8, b=5
kreismittelpunkt, sowie ellipsenbrennpunkte auf der x-achse
gesucht ist:
kreismittelpunkt und radius des kreises, so dass der umfang des restkörpers max. wird.
restkörper ist das, was übrig bleibt, wenn man von der ellipse den kreisbogen abstanzt.
die zielfunktion ist zu klobig um sie zu nennen.
ich habe alles auf den kreismittelpunkt bezogen (x koordinate).
am besten wäre es glaube ich , wenn du dir garnicht ansiehst, was ich schon gemacht habe und selbst deinen lösungsansatz zeigst und wir dann vergleichen.
bei meinem werden die terme nämlich so klobig.
ich hoffe du hast ne idee.
MfG theo
|
Maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 04:57: |
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Lege den Kreismittelpunkt in Entfernung =a vom Mittelpunkt der Ellipse.
Lasse den Radius gegen null gehen.
Dann bleibt der gesamte Ellipsenumfang als Rest!
Größer gehts nicht.
Die Aufgabe ist quatsch!
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Wolfgang
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 09:26: |
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Hallo Theo,
ich konnte gestern abend nicht mehr antworten, zu widersprüchlich waren meine Ergebnisse! Gerade als ich dir meine Vermutung mitteilen wollte, dass unsere Zielfunktion bei x=4.875 die Steigung unendlich hat, bzw. noch schlimmer: dort gar nicht differenzierbar ist, habe ich dein Ergebnis gelesen - die Ableitung wird 0???
Zunächst aber habe ich was Brauchbares in meinem Mathebuch gefunden: der größtmögliche Kreis, der die Ellipse von innen in (a/0) berührt (den du als Lösung erhältst), heißt "Krümmungskreis" und für seinen Radius gibts die einfache Formel r=b²/a schon fix und fertig.
Dann hab ich mal mit Zahlenwerten gerechnet: (U=Umfang der Ellipse)
x=4.875 ==> r=3.125 (vgl. Krümmungskreisformel!), Winkel w=pi, Zielfunktion z=U/4+9.81748
nun die Idee mit dem Nachbarpunkt (Tangentenproblem) für Dx=0.001
x=4.876 ==> r=3.124 (Radius wird um Dx kleiner und berührt weiter in (a/0)), w=pi=180°, z=U/4+9.81434. Ergibt als Näherung für die Ableitung Dy/Dx = -3.14159
x=4.874 ==> r=3.126, w=3.10919=178°, z=U/4-Ellipsenbogen+9.71933
Aus meiner 2.Skizze (der ungenauen) kann man aber doch sehen das der abgeschnittene Ellipsenbogen immer etwas größer ist als der darunter verlaufenden Kreisbogen! Also ist das tatsächliche z etwas kleiner als das Rechenergebnis wenn ich statt dem Ellipsenbogen den rechten Kreisbogen mit Winkel (pi-w) einsetze (weil ich ja weniger subtrahiere). Also z<9.61804
Ergibt als Näherung für die Ableitung Dy/Dx > 199.432
Und wenn links- und rechtsseitger Grenzwert der Sekantensteigungen nicht übereinstimmen ist doch die Funktion dort gar nicht differenzierbar? Aber nach =0 sieht das auf keinen Fall aus.
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Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 158
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 10:50: |
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ja du hast die problematik schon erkannt:
meine funktion ist nur für:
|x|>39/8
def. und ist demnach ungeeignet.
ich habe nur mit dem zähler der gesamten funktion gerechnet um überhaupt ein ergebnis zu erhalten.
dies lieferte als nullstellen +-39/8.
jetzt habe ich noch maple rechnen lassen, wass mit der gesamten funktion passiert, wenn sie gegen 39/8 läuft.
dies lieferte:
lim(B'(x))=0
|x|->4,875
, wobei linksseitiger und rechtsseitiger grenzwert in beiden fällen übereinstimmen.
ich weiss aber nicht, ob der limes hinreichend dafür ist zu sagen, es liegt eine extremstelle vor.
ich glaube wir sollten meine rechnung vorerst nicht als beiweis meiner anfänglichen vermutung nehmen, sondern mehr als bekräftigung.
es kann ja nicht vollends zufall sein, dass die gleichen ergebnisse rauskommen, die ich vermutet habe!
ich glaube uns bleibt jetzt nichts anderes übrig als abzuwarten und zu schauen, was niels für einen lösungsvorschlag macht.
anbei bin ich mir ziemlich sicher, dass mein ergebnis stimmt, ich kann es halt blos nicht lupenrein zeigen, dazu ist die zielfunktion leider ungeeignet.
faszienierend, das es für meine lösung auch einen namen gibt.
MfG Theo
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Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 159
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 10:59: |
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noch eine bemerkung zu deiner äusserung:
"ich kann bis zum Donnerstag aufgeben und das Projekt zurücklegen. Wär zwar echt peinlich, aber was soll's? "
ich würde dich sehr dazu drengen dies nicht zu tun! , denn gerade wenn man sich mit komplizierten dingen beschäftigt, bringt es einen weiter. ob man letzten endes ein ergebnis erhält ist da ger nicht so entscheidend. was zählt ist die intensive auseinandersetzung mit einem problem!
und auch wenn du vielleicht dann kein vollständig einwandfreies ergebnis liefern kannst, hast du immerhin ein vielversprechendes ergebnis und einen zumindest auf den ersten blick wirklich guten lösungsansatz.
MfG theo
(ich hoffe du hast verstanden, was ich damit sagen wollte)
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Niels (niels2)
Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 11:23: |
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Hallo,
ich habe mir Gedanken über die Aufgabenstellung gemacht.
Ich bin der Meinung, das mit Restkörper nämlich nicht der Restkörper der Ellipse sondern des Kreises gemeint sein könnte.
den Maximalen Ellipsenumfang zu berechnen ist wohl kaum möglich.
Ich stelle mir die Aufgabe daher so vor:
Man schneidet ein Teil der Ellipse aus. dieser Teil der Ellipse soll ein Kreisbogen eines Kreises sein.
Gesucht ist der maximale Umfang dieses Kreises.
Es kann sein, das meine Überlegungen abwägig sind. Bin mir aber nicht sicher.
Was hälst du davon Schuster?
Gruß N.
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Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 160
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 14:41: |
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ich bin nicht 100%ig sicher, aber glaube, das es nicht so gemeint ist, wie du vorschlägst, dass wäre zu einfach!
könnte man doch im prinzip ohne rechnung lösen!
meie überlegung war, dass man den umfang des ellipsenrestes nicht ohne weiteres bestimmen kann, weil das integral nicht elementat lösbar ist.
ich habe mir aber überlegt, das man die genaue länge gar nicht brauch.
man brauch ja "blos" die ableitung des integrals.
weist du, wie man das ableitet:
int(sqrt(1+25/64*x^2/(64-x^2)),x=0..64/39*c)
vieleicht zur vereinfachung erstmal mit d=64/39*c .
also ich weiss es nicht und hab es von maple rechnen lassen.
was hälst du von meinen überlegungen?
MfG theo |
Schuster (s_oeht)
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Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 161
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 14:43: |
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abgeleitet nach c bzw. d |
Maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 08:19: |
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Solange nicht klar ist was gegeben und was gesucht ist, bleibt die Aufgabe quatsch!
Von einer Ellipse wird ein Kreisbogen "ausgestanzt".
Und dabei soll dann ein "Restkörper" entstehen!
So ein Quatsch! |
Wolfgang
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 09:02: |
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Hallo Niels, Maxi: Bitte schaut noch einmal meine 1. Skizze im Beitrag 'Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 08:45:' an. Ich bin ganz sicher, dass der Umfang dieser Figur die ein bisschen an ein Raumschiff der Klingonen erinnert, gemeint ist.
Theo: ich muss mich bis heute abend entscheiden ob ich aufgebe. Siehst du wirklich noch eine reelle Chance? Deine Meinung ist mir wichtig!
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Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 167
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 15:48: |
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vorher muss ich aber noch folgendes wissen:
was ist das genau für ein projekt?
von wem, für wen?
mit welchem allgemeinen Ziel?
ist es nur die aufgabe?
MfG Theo
sende an s_oeht@hotmail.com |
Wolfgang
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 19:58: |
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Hallo Theo,
meine Entscheidung steht fest. Ich steige morgen aus dem Projekt aus. Ich wollte mehr als ich kann und das ist mir jetzt klar. Ohne deine Hilfe hätt ich genau gar nix rausgefunden.
Bei dem Projekt wärs um nen Ferialjob gegangen. "Mitarbeit bei der Zuschnittoptimierung von Kleiderstoffen und Lederwaren", das hat unser Prof organisiert weil er da so ne Art Beratervertrag als Industriemathematiker hat. Die Aufgabe mit der Ellipse war nur der "Eignungstest".
D A N K E !!! für deine große Mühe, aber ich schaffs nicht.
Wolfgang :-(
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Schuster (s_oeht)
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Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 176
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 20:08: |
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studierst du?
"unser Prof"
wenn ja wo denn. und wie ist es so.
MfG theo |
Wolfgang
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 20:25: |
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???
Ich gehe in eine HTL und wir in Österreich sagen Prof zu unseren Lehrern, weiß nicht wie das in Deutschland ist. In Österreich kenn ich kein gutes Matheforum.
Wolfgang
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Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 179
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 20:46: |
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ich dachte an professor, desshalb.
MfG Theo |
Wolfgang
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 20:54: |
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Ach, wusstest du das gar nicht? Bei uns wollen alle Lehrer am Gymnasium und an der HTL mit "Herr Professor" angesprochen werden. Alt ehrwürdige Tradition!
Wolfgang |
Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 181
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 21:25: |
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wenn ich mir überlege ich müsste irgend so einen inkompetenten lehrer mit professor anreden ...
ich glaube das fände ich ziemlich lustig.
MfG theo |
