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Beitrag |
    
Anita
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Mai, 2002 - 15:11: | 
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Es ist ein rechteckiger Sportplatz gegeben, dessen kürzere Seite max. 50 m ist. Weiterhin führt um diesen Sportplatz wie in einem Stadion eine Laufbahn, deren Länge 400 m ist.
Bestimmen sie die maximale Fläche des Sportplatzfeldes! |
Peter (analysist)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 68
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Mai, 2002 - 15:35: |
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Rechteck mit aufgesetzten Halbkreisen als Ansatz:
Nenne die halbe kurze Seite x, die lange Seite y.
A(x,y)=2xy (0<x<100/pi)
Nebenbedingung U=400
2*pi*x+2y=400
y=200-2*pi*x
A(x)=400x-4*pi*x^2
A'(x)=400-8*pi*x
A''(x)=-8*pi < 0, wenn mgl. Extremst. dann MAX
400-8*pi*x=0
x=50/pi
y=100
Ränder:
A(0)=0
A(100/pi)=0
Das maximale Spielfeld ist also 100m X 100/pi m.
A=10000/pi m^2
Gruß
Peter
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Anita
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Mai, 2002 - 16:24: |
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hmm, kleine Korrektur deiner Rechnung:
y=200-pi•x (hast vergessen, auch bei dem 2•pi•x durch 2 zu dividieren, so scheints)
dadurch:
A(x)=200x-pi•x²
.......am Ende kommt man aber auch auf MAX(100/pi; 10000/pi)
und noch ne Frage: Wieso muss man nirgends die Bedingung reinbringen, dass die eine Seite kleiner/gleich 50 m sein muss.......dass die Bedingung am Ende erfüllt ist, muss ja an irgendeiner Stelle ersichtlich sein..
jedenfalls schonmal danke |
Peter (analysist)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 69
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Mai, 2002 - 18:09: |
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hallo,
das mit dem dividieren stimmt natürlich.
Daher lag mein (falsches) Maximum im zulässigen Definitionsbereich, das wird allerdings bei richtiger Rechnung anders:
A(x)=400x-2*pi*x^2
A'(x)=400-4*pi*x
400-4*pi*x=0
x=100/pi
100/pi wäre also die halbe kurze Seite. Damit ist die ganze kurze Seite 200/pi, was zweifellos größer als 50 m ist. Damit liegt das lokale Maximum außerhalb des Definitionsbereich.
Dann findet sich das Maximum bei
A(25)=10000-1250*pi
y=200-25*pi
Gruß
Peter
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Anita
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Mai, 2002 - 19:03: |
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deinen letzten Schritt verstehe ich nicht.
Für mich lautet die Nebenfunktion so:
a = längere Seite
b = kürzere Seite
400 = 2a+2*pi*(b/2)
--> a = 200-.5*b*pi
A(b)=200b-.5*b²*pi
A'(b)=200-b*pi
b0=200/pi
--> MAX(200/pi;6366)....also das gleiche wie du....der Teufel weiß, warum ich alles anders mache als du.......auf jeden Fall, da 200/pi ja außerhalb des Intrervalls liegt, sage ich einfach es muss an der Stelle sein, die am nähesten am Maximum liegt. Was bei 200/pi (63,...) im vorgegebeben Intervall 50 ist. Stimmt das so??? |
Peter (analysist)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 70
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Mai, 2002 - 16:07: |
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Hallo noch mal,
der einzige winzige Unterschied ist, dass ich die halbe kurze Seite x genannt habe, weil das ja der Kreisradius ist. Bei dir heißt die ganze Seite b, dann ist der Radius b/2.
Deine Argumentation ist richtig: Das lokale Maximum liegt außerhalb des Definitionsbereichs, also wird das Maximum am Rand (hier am rechten) des Definitionsbereichs angenommen.
Gruß
Peter |
