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Christoph
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Mai, 2002 - 20:46: | 
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Hallo,
ich grüble schon eine Woche über einen scheinbar vertrackten Beweis.
Mit F1 und F2 ist eine Ellipse gegeben. Eine Tangente wird an einen beliebigem Punkt der Ellipse angelegt. Nun werden durch die Brennpunkte Normalen zu dieser Tangente gelegt, Schnittpunkte der Normalen durch F1 mit der Tangente sei P1, durch F2 sei P2.
Nun gilt es zu zeigen, dass das Quadrat der Nebenhalbachse gleich dem Produkt aus F1P1*F2P2 ist, also b^2=F1P1*F2P2. Ich finde keinen richtigen Ansatz, wer kann mir helfen???
Es grüßt euch Christoph |
Christoph
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Mai, 2002 - 22:02: |
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Noch was dazu, habe ich vergessen: F1 und F2 liegen auf der x-Achse gleich weit vom Ursprung entfernt. Vielen Dank! Christoph |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Mai, 2002 - 10:11: |
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Hi Christoph,
Deine Aufgabe bezieht sich auf die Ellipse in
zentraler Lage.
Ihre Mittelpunktsgleichung lautet bekanntlich
b^2 * x^2 + a^2 * y^2 = a^2 * b^2
Wir nehmen an, es sei a > b; dann ist die x-Achse
die Fokalachse, d.h. die Brennpunkte F1 und F2
liegen auf der x-Achse.
Wenn wir die lineare Exzentriziät e
mit e^2 = a ^ 2 – b ^ 2 einführen, so gilt für die
beiden Brennpunkte :
F1(e / 0), F2(-e / 0).
Die Gleichung der Ellipsentangente t mit P1(x1/y1)
als Berührungspunkt lautet
b^2 * x1 x + a^2 * y1 y = a^2 * b^2
Diese Gleichung transformieren wir sofort in die
Hessesche Normalform, damit wir die Abstände
d1 und d2 der Brennpunkte F1 und F2 von t
berechnen können.
Wir erhalten diese Normalform, indem wir die
Gleichung auf null bringen und beide Seiten durch
den Wurzelterm
W = wurzel [(b^2*x1)^2 + (a^2*y1)^2 ] =
wurzel [b^4*x1^2 + a^4*y1^2) dividieren.
Die Normalform von t lautet somit:
[b^2 * x1 x + a^2 * y1 y - a^2 * b^2 ] / W = 0
Setzt man für x und y die Koordinaten von F1(e/0),
also x = e , y = 0 ein, so erhält man den Abstand d1
des Brennpunktes F1 von t , nämlich:
d1 = [ b^2 * x1*e - a^2 * b^2 ] / W
Setzt man für x und y die Koordinaten von F2(-e/0),
also x = -e , y = 0 ein, so erhält man den Abstand d2
des Brennpunktes F2 von t , nämlich:
d2 = [ -b^2 * x1* e - a^2 * b^2 ] / W
Nun bilden wir das Produkt p der Abstände:
p = d1 * d2 = - [b^4*(e^2 * x1^2 – a^4)] / W^2
- [b^4*(e^2 * x1^2 – a^4)] / [b^4*x1^2 +a^4*y1^2]
Wir erinnern uns: es gilt e^2 = a^2 – b^2, ferner
b^2 * x1^2 + a^2 * y1^2 = a^2 * b^2
da P1(x1/y1) als Berührungspunkt von t auf der
Ellipse liegt.
Die letzte Relation lösen wir nach a^2 * y1^2 auf ;
es kommt:
a^2 * y1^2 = b^2 * (a^2 .- x1^2) , mithin
a^4 * y1^2 = a^2 * b^2 * (a^2 .- x1^2)
Dies setzen wir in die Gleichung für p ein
und wir erhalten, indem wir brav rechnen:
p = d1*d2 =
-[b^4{a^2-b^2}*x1^2-a^4] / [b^2{b^2* x1^2+a^2(a^2-x1^2)]
= b^2 , was zu zeigen war !
Anmerkungen
(1)
Es lässt sich mit einfachern Mitteln zeigen, dass für den
Quotienten q = d1/d2 gilt:
q = x1^2 – e^2 = x1^2 + b^2 – a^2
q ist also, wie zu erwarten war, von der Lage des
Berührungspunktes P1 nicht unabhängig !
(2)
Hausaufgabe: Beweise:
Die von einem Brennpunkt einer Ellipse auf eine Tangente
gefällte Senkrechte schneidet den Durchmesser des
Berührungspunktes auf einem Punkt der Leitgeraden
Viel Vergnügen beim Studium dieser Dinge !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 108
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Mai, 2002 - 21:03: |
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Hi H.R.Moser
bist du sicher, dass gilt:
q = x1^2 – e^2 = x1^2 + b^2 – a^2
d1/d2=[b^2*x1*e-a^2*b^2]/[-b^2*x1*e-a^2*b^2]
=[x1*e-a^2]/[-x1*e-a^2]=? x1^2 – e^2
wo liegt denn mein fehler?
MfG Theo
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Christoph
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Mai, 2002 - 22:06: |
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Hallo H.R. Moser,
ganz herzlichen Dank erst mal. Nun werde ich heute abend noch versuchen, das Ganze nachzuvollziehen. Inzwischen träume ich schon von Ellipsen...
Das mit der linearen Exzentrität habe ich noch nicht reingebracht, wahrscheinlich war das schon entscheidend...
Melde mich wieder! Viele Grüße Christoph |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Mai, 2002 - 08:33: |
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Hi Christoph, Hi Schuster,
Eine kleine Reminiszenz zur Ellipse
Die lineare Exzentrizität e stimmt mit dem Abstand
des Mittelpunktes M von einem der beiden
Brennpunkte F1, F2 überein.
e = M F1 = M F2.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Ein laufender Punkt P der Ellipse erfüllt die Ortsbedingung:
P F1+ P F2 = 2 a ,
°°°°°°°°°°°°°°°°°
wobei a mit der grossen Halbachse der Ellipse übereinstimmt.
Wendest Du diese Bedingung für einen Nebenscheitel C(0/b)
an, so gilt CF1 + CF2 = 2 a ; b ist die kleine Halbachse der Ellipse.
Das Dreieck M F1 C ist bei M rechtwinklig; die Katheten sind:
MF1 = e , MC = b , die Hypotenuse C F1 hat die Länge a .
Nach Pythagoras gilt:
e^2 + b^2 = a^2 oder e^2 =a^2 – b^2.
°°°°°°°°°°°°°°°° °°°°°°°°°°°°°°°
Setzt man die allerletzte Relation in die Gleichung
d1 / d2 = x1^2 – e^2 ein, so kommt
d1 / d2 = x1^2 – a^2 + b^2
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Kann es sein, dass das Resultat aus meiner letzten Arbeit
doch richtig ist ?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 110
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Mai, 2002 - 14:43: |
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hallo H.R.Moser
nochmal zu dem resultat deiner letzten Arbeit:
dass gilt: x1^2 – e^2 = x1^2 – a^2 + b^2
hab ich ja nie bezweifelt!!
Ich habe bloss versucht, d1 / d2 zum obigen term umzuformen und war erfolglos.
Da hab ich dann versucht, von einer ellipse beispielwerte einzusetzen , um die relation zu überprüfen und kam zu keiner übereinstimmung beider seiten der "gleichung".
das war der grund meiner zweifel.
hab ich mich da zweimal verrechnet?
ja? nein?
könntest du die relation nochmal prufen und mir sagen, ob sie stimmt.
das einsetzen hat mich nämlich wirklich zum zweifeln gebracht!
MfG Theo
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Mai, 2002 - 15:46: |
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Hi Scuster,
Du hast recht ; eine Korrektur ist angebracht
Es gilt:
d1 / d2 = ( a^2 – e * x1) / ( a ^ 2 + e * x1)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Irrtum vorbehalten !
Gruss
H.R.Moser,megamath
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Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 111
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Mai, 2002 - 22:36: |
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ja diesen zusammenhang hatte ich auch raus (siehe oben)
Also ich hab mich mal an dem beweis versucht.
Beweise:
Die von einem Brennpunkt einer Ellipse auf eine Tangente
gefällte Senkrechte schneidet den Durchmesser des
Berührungspunktes auf einem Punkt der Leitgeraden
F1 und F2 liegen auf der x-Achse im abstand e vom Ursprung entfernt.
F1(-e|0)
Sei x1>0
für die tangente im punkt P(x1|y1) gilt:
x*x1/a^2+y*y1/b^2=1
y=-(x1*b^2)/(y1*a^2)*x+b^2/y1
dann gilt für die normale durch F1:
n=(y1*a^2)/(x1*b^2)x + (y1*a^2)/(x1*b^2)*e
für den durchmesser des Berührungspunktes gilt:
d=y1/x1*x
gleichsetzen:
y1/x1*x=(y1*a^2)/(x1*b^2)x + (y1*a^2)/(x1*b^2)*e
x=a^2/b^2*x + a^2/b^2*e
x=-a^2/e
mmmmh keine ahnung ob man das so rechnen kann, hatte noch keine analytische geometrie.
ausserdem gibt mir zu denken, dass die schnittstelle bei -a^2/e liegt.
zeigen sollte ich ja, dass sie sich auf der leitlinie schneiden und ich hab gerade mal nachgesehen und da stand, dass die leitlinie den abstand a/e hat, nicht a^2/e.
aber wenn die leitlinie bei a/e liegt, dann läge sie ja für e>1 innerhalb der ellipse.
ist das so?
MfG Theo |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 12:49: |
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Hi Theo,
Ich löse die von mir gestellte Zusatzaufgabe am besten
von A bis Z oder auch von alpha bis omega ,was dasselbe
ist.
Zuerst ist die zum Brennpunkt F1 (e/0) gehörige Leitgerade
oder Direktrix D1 zu ermitteln, welche zur Fokalachse
(hier die x-Achse) senkrecht steht.
e ist die bekannte lineare Exzentrizität,
von der wir neulich ausführlich gesprochen haben
Wir stellen noch die numerische Exzentrizität f
als Quotiemt f = e / a dar.
Gewöhnlich wird f mit epsilon bezeichnet.
Geometrische Bedeutung von f.
Die Ellipse kann als Ortkurve für den laufenden Punkt P
aufgefasst werden :für die Bedingung:
der Quotient aus dem Abstand u = P F1 des Punktes P von F1
und dem Abstand v = (P,L) des Punktes P von der Geraden L
ist konstant, und diese Konstante stimmt mit f überein
Für die Ellipse gilt f < 1 , für die Parabel f = 1
und für die Hyperbel f > 1 .
Nun wenden wir diese Bedingungsgleichung speziell
für den Nebenscheitel C( 0 / b ) auf der y-Achse an.
Für die Gleichung von L setzen wir an: x = T,
d.h. L schneidet die x-Achse im Punkt S(T/0)
Es entsteht die Beziehung (beachte CF1 = a) :
f = a / T, daraus T = a / f = a ^ 2 / e
Für die Ellipse gilt T > a, d.h die Leitgerade schneidet
Die Ellipse (selbstverständlich) nicht.
Eine zur Ellipsentangente t
t : b^2 x1x – a^2 y1 y = a^2 * b^2
Berührungspunkt P1(x1/y1)
senkrechte Gerade n hat die allgemeine Gleichung
n : a^2 y1 x – b^2 x1 y = K ;
soll nun n durch den Brennpunkt F(e/0) gehen, so lautet die
Konstante K:
K = a^2 y1 * e , mithin :
n : a^2 y1 x – b^2 x1 y = a^2 * y1 * e
Schnitt mit der Durchmessergeraden g = MP1, Gleichung
y = y1/x1 * x ergibt den x-Wert
x = a^2 /e , dies ist unabhängig von P1(x1/y1)
Dieser Schnittpunkt liegt somit schon auf der Direktrix L,
deren Gleichung weiter oben steht.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Schuster (s_oeht)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 113
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 15:57: |
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Oh ich sehe gerade, das Bronstein die numerische exzentrizität mit e bezeicnet und den brennpunktabstand mit c.
tja, wenn man nicht aufpasst
interessant, dass du immer mit der impliziten darstellung der funktionen arbeitest.
wenn du zum schluss die schnittstelle berechnest, musst doch aber auch auf die explizite form bringe, so wie ich es gleich zu beginn gemacht habe.
Oder?
MfG Theo
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 17:27: |
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Hi Theo,
Antwort: Ja
MfG
H.R.Moser,megamath |
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