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die steffi nochmal

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Lineare Algebra » Lineare Un-/Abhängigkeit » die steffi nochmal « Zurück Vor »

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süsseSTEFFI
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 13. Mai, 2002 - 16:28:   Beitrag drucken

wie rechne ich :
a*(x^2+3x) + b*(5x^2-x) + c*(-x^2+2x) = 0
linear abhängig? ja... aber wie stell ich die dinger um dass ich a b und c rausbekomme? setz ich für x die nullstellen ein oder wie wie wie? H I L F E
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Fern
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 13. Mai, 2002 - 17:44:   Beitrag drucken

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Fern
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 13. Mai, 2002 - 17:47:   Beitrag drucken

Hallo süsseSTEFFI,
wir betrachten die drei Polynome
P1=(x²+3x+0)
P2=(5x²-x+0)
P3=(-x²+2x+0)
=========
Die entsprechenden Koeffizientenvektoren sind:
(ich fange mit dem Absolutglied an)
(0; 3; 1)
(0; -1; 5)
(0; 2; -1)
====================
Wir schreiben diese Vektoren als Spaltenvektoren einer Matrix:
0 0 0
3 -1 2
1 5 -1

und reduzieren diese nach dem Gauß-Verfahren:
(ich nehme an, du kannst das:
 
1 0 9/16
0 1 -5/16
0 0 0

Die Spalten entsprechen der Reihe nach P1,P2,P3
P3 hat keinen Pivot, daher lesen wir ab:

P3 = (9/16)*P1 + (-5/16)*P2
=======================

Probe:
(9/16)*(x²+3x) - (5/16)*(5x²-x) = -x² + 2x (und dies ist tatsächlich P3)
================================================
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Ingo (ingo)
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Moderator
Benutzername: ingo

Nummer des Beitrags: 433
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Montag, den 13. Mai, 2002 - 18:52:   Beitrag drucken

Einsichtiger finde ich es, wenn man die gegebene Gleichung einfach nur umformt.

a(x²+3x)+b(5x²-x)+c(-x²+2x)=0
x²(a+5b-c)+x(3a-b+2c)=0
Da diese Gleichung für jedes x erfüllt sein soll ist
a+5b-c=0 und 3a-b+2c=0
Jetzt kann man sich entweder darauf berufen,daß ein lineares GLS mit drei Unbekannten und zwei unabhängigen Gleichungen stets eine nichttriviale Lösung besitzt, oder man rechnet weiter.
c=a+5b und b=3a+2c=3a+2(a+5b)=5a+10b
=> b=-(5/9)a und c=-(16/9)a

Also ist beispielsweise
9(x²+3x)-5(5x²-x)-16(-x²+2x)=0

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