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R^5-Vektoren und span

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süsseSTEFFI
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 13. Mai, 2002 - 14:42:   Beitrag drucken

HILFE bitte bitte bei folgender aufgabe:
gegeben seien im R^5 die Vektoren:
v1=(4,1,1,0,-2) v2=(0,1,4,-1,2) v3=(4,3,9,-2,2)
v4=(1,1,1,1,1) v5=(0,-2,-8,2,-4)
BESTIMME eine Basis von span(v1,v2,v3,v4,v5)
KUSS Steffi
für ganz nette und schnelle gibts n nettes foto von mir per mail....
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Peter (analysist)
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Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: analysist

Nummer des Beitrags: 63
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Montag, den 13. Mai, 2002 - 16:15:   Beitrag drucken

Hallo Steffi,

man sieht sofort, dass v2 und v5 Vielfache von einander sind. Zudem kann man schnell überprüfen, dass die ersten drei Vektoren linear abhängig sind.


Das Erzeugnis der Vektoren ist
4k+4m+n
k+l+3m+n-2o
k+4l+9m+n-8o
-l-2m+n+2o
-2k+2l+2m+n-4o mit k,l,m,n,o aus IR
Setze p:=l-2o
Dann hat es die Form:
4k+4m+n
k+3m+n+p
k+9m+n+4p
-2m+n-p
-2k+2m+n+2p mit k,m,n,p aus IR
Setze:
r:=k+m
s:=p+2m
(auf die passende Ersetzung kommt man durch Untersuchung der linearen Unabhängigkeit)

4r+n =4r+0s+1n
r+s+n =1r+1s+1n
r+4s+n =1r+4s+1n
-s+n =0r-1s+1n
-2r+2s+n=-2r+2s+1n

Damit haben wir 3 linear unabhängige Vektoren, die das Erzeugnis von v1 bis v5 aufspannen, die sind - da l.u. - als Basis geeignet.

b1=(4,1,1,0,-2), b2=(0,1,4,-1,2), b3=(1,1,1,1,1)

Das war die mathematisch ausführliche Variante.

Man kann es aber den gegebenen Vektoren sofort ansehen, dass v5 das -2-Fache von v2 und v3 eine Linearkombination aus v1+2v2 ist. Damit sind v5 und v3 für das Erzeugnis nicht maßgebend, da sie schon durch die anderen 3 Vektoren dargestellt werden können.

Gruß

Peter

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