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schubie (schubie)
Neues Mitglied
Benutzername: schubie
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Mai, 2002 - 15:23: | 
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Hi!!!
Ich bräuchte dringend eure Hilfe!
Wie kann ich mit Hilfe der Partiellen Integration das Integral von sin^4 x bestimmen.
Gelesen: Sinus hoch 4 von x
Ich danke euch!!!
Falls ihr das wisst!
Bye!!
Bitte um schnelle lösung |
Schuster (s_oeht)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 84
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Mai, 2002 - 16:51: |
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int(sin^4(x))dx=
-cos(x)*sin^3(x)+3*int(cos^2(x)*sin^2(x))dx
=-cos(x)*sin^3(x)+3*int(cos^2(x)-sin^4(x))dx
=0,25*(-cos(x)*sin^3(x)+3*int(cos^2(x)dx)
=-1/4*sin(x)^3*cos(x)-3/8*cos(x)*sin(x)+3/8*x
mit dem ansatz:
sin^4(x)=1/8*(sin(4x)-4cos(2x)+3)
könnte man dieses integral noch einfacher berechnen!
MfG Theo |
schubie (schubie)
Neues Mitglied
Benutzername: schubie
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Mai, 2002 - 17:33: |
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hi Theo!
Vielen Dank, aber ich kann dir irgendwie nicht folgen!!!
Wie kommst du auf die erste Zeile???
Warum plus???
Heißt die Formel der partiellen integartion nicht u' * v= u*v - int ( u*v')dx?
Könntest du mir den Rechengang noch mal Komplett aufschreiben?
Danke für deine Hilfe!!!
Bye |
Schuster (s_oeht)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 86
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Mai, 2002 - 18:33: |
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ja di formel heisst:
int(u* v')dx= u*v - int ( u'*v)dx
ich hab
v'=sin(x)
u=sin^3(x)
gesetzt.
dann ist u'=3*cos(x)*sin^2(x)
und v=-cos(x)
wenn du das einsetzt kommst du auf die erste zeile:
int(sin^4(x))dx=
-cos(x)*sin^3(x)+3*int(cos^2(x)*sin^2(x))dx
dann hab ich für cos^2(x)=1-sin^2(x) geschrieben:
-cos(x)*sin^3(x)+3*int((1-sin^2(x))*sin^2(x))dx
=-cos(x)*sin^3(x)+3*int(sin^2(x)-sin^4(x))dx
(hab mich oben vertippt, sorry)
=-cos(x)*sin^3(x)+3*int(sin^2(x)-sin^4(x))dx
4*int(sin^4(x))dx=-cos(x)*sin^3(x)+3*int(sin^2(x))dx
int(sin^4(x))dx=1/4*[-cos(x)*sin^3(x)+3*int(sin^2(x))dx]
int(sin^2(x))dx=1/2*int(1-cos(2x))dx=1/2(x-1/2*sin(2x))
=x/2-1/2*sin(x)*cos(x)
ensetzen ergibt dann:
int(sin^4(x))dx=1/4*[-cos(x)*sin^3(x)+3*(x/2-1/2*sin(x)*cos(x))]
=-1/4*cos(x)*sin^3(x)+3/8*x-3/8*sin(x)*cos(x)
MfG Theo
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wolke
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Oktober, 2002 - 09:17: |
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Hallo schubie,
wenn du weißt, dass sin(x) = (e^{it}+e^{-it})/2i ist,
das ganze dann potenzierst und dann nach cos nt und nach sin nt-Termen zusammenfasst, sieht das ganze noch einfacher aus.
Ich mache das einmal vor bei sin^2 (x).
sin^2(x) = ((e^{ix}-e^{-ix})/2i)^2
= (- 1/4) * ( exp(2i) -2 +exp(-2i))
= (-1/4) * (-2) + (-1/4)*2* (exp(2i)+exp(-2i)) / 2
= 1/2 + (-1/2) cos(2x)
Der letztere Term lässt sich dann eher integrieren (und auch beliebig oft differenzieren).
Bei sin^4(x) machst du es genauso. Wenn du noch nicht mit komplexen Zahlen gerechnet hast, kannst du es ziemlich schnell lernen. Diese Zahlen sind fürs Verständnis vieler mathematischer Probleme ziemlich hilfreich
Genauso machst du es bei sin^4 x.
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 574
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Oktober, 2002 - 11:03: |
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da das folgende wohl in jeder guten Formelsammlung
zu finden ist und wohl auch Gymnasialstoff [auch wenn hier aus dem Bronstein] sei darauf hingewiesen
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung widerspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[aus dem Vorwort zu Georg Pólyas Buch "Mathematik und Plausibles Schliessen, Band 1 Induktion und Analogie in der Mathematik]
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 575
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Oktober, 2002 - 11:05: |
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Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung widerspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[aus dem Vorwort zu Georg Pólyas Buch "Mathematik und Plausibles Schliessen, Band 1 Induktion und Analogie in der Mathematik]
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Muriel
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Oktober, 2002 - 12:11: |
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Bravo Friedrich!
Das hast du aber gut kopiert.
(OHNE RECHENFEHLER!) |
Zitatendrescher
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Oktober, 2002 - 12:52: |
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Hallo Friedrich Laher,
In der heutigen Schulwelt kann leider nicht ausgeschlossen werden, dass manchmal eine Reihe junger Menschen gefährdet ist, das Lösen geometrischer Probleme durch das Erfinden von Kopfschmerzen bekämpfen zu wollen.
Gruß vom AuchZitatenDrescher |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 576
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Oktober, 2002 - 20:59: |
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hallo, muriel,
hier
etwas das nicht kopiert ist oder zitiert ist.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung widerspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[aus dem Vorwort zu Georg Pólyas Buch "Mathematik und Plausibles Schliessen, Band 1 Induktion und Analogie in der Mathematik]
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