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Beitrag |
    
Emiliy
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. November, 2000 - 15:58: | 
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Suche dringenst eine Stammfunktion zu
f(x) = x^p * e^(x*r) |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. November, 2000 - 09:07: |
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Hi Emiliy,
Dein Integral J kann Schritt für Schritt mittels
partieller Integration gelöst werden.
Ich führe den ersten Schritt aus und Du erkennst sofort
eine Rekursionsformel.
int [x ^ p *e ^ ( r x ) * dx] = ( x ^ p * e^( r x ) / r
- p / r * int [x ^ ( p-1)* e ^ ( r x ) * dx ]...............( R )
(p wird als eine positive ganze Zahl vorausgesetzt)
Durch wiederholte Anwendung erhält man für J
folgende Summe mit p +1 Summanden:
J = e ^ (rx) * sum [(-1)^k *{p ! * x ^ (p-k)}/{ (p-k) ! * r^(k+1)}]
Dabei läuft der Summationsindex k von 0 bis und mit p.
Empfehlung
Bei konkreten Beispielen wendet man am besten Schritt für Schritt
die Formel ( R ) an, bis der Exponent von x eins geworden ist
Bei jedem Schritt verringert er sich ja um eins; die x -Potenzen im
Integral sind der Reihe nach
p , p - 1, p - 2 usw. ; nach p Schritten ist man am Ziel .
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Emily
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. November, 2000 - 16:49: |
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Hallo, H.R.Moser, megamath
Danke erstmal für die Lösung. Jetzt habe ich aber noch ein Problem:
Ich habe dieses Integral mit einem Matheprogramm versucht zu lösen, und da hat mir mein Computer eine Lösung ausgespuckt, in der irgenetwas mit einer Gammafunktion vorkommt, Ich habe aber keine Ahnung, was eine Gammafunktion ist, noch was sie in der Lösung eines Integrals zu suchen hat?! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. November, 2000 - 13:05: |
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Hi Emily,
Besten Dank für Deine Rückfrage
Es ist nicht verwunderlich, dass bei Deinen Arbeiten
mit dem Computeralgebra-System im Zusammenhang
mit dem vorgelegten
Integral die Gammafunktion auftaucht
(im wahrsten Sinn des Wortes),denn diese ist
durch das folgende bestimmte und uneigentliche Integral
definiert.
Gamma(p) = int [e^ (-x) * x ^ (p-1)* dx],
untere Grenze 0, obere Grenze plus unendlich.
Es wäre reizvoll für mich, Dir näheres über diese interessante
Funktion darzulegen, die Aufgabe ist jedoch für eine Darstellung
im Board zu aufwendig und nicht sehr gut geeignet.
Nur diese "Kleinigkeit":
Per definitionem gilt: (1/2) ! = Gamma (3/2) = wurzel(Pi) / 2,
gelesen "1/2 -Fakultät".
Die Gammafunktion darf als eine Verallgemeinerung der Fakultät
aufgefasst werden in dem Sinn ,dass p! auch für p-Werte definiert
wird, die von positiven ganzen Zahlen verschieden sind.
Zum Schluss führe ich noch ein paar Integrale vor, die ich mit
dem System Maple V berechnet habe
Es sind alles unbestimmte Integrale ;die Integranden lauten:
1) f(x) = x ^ 2 * e ^ ( - 4 x )
2) g(x) = x ^ ( -2 ) * e ^ ( 4 x )
3) h(x) = x ^ ( - 2 ) * e ^ ( - 4 x )
4) u(x) = x ^ 2 * e ^ ( 4 x )
Versuche selbst, die Resultate mit dem Computer zu ermitteln
Bei 3) taucht bei mir das Gausssche Fehlerintegral auf !
Mit besten Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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Emily
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Dezember, 2000 - 13:40: |
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Hi.
Ich habe jetzt noch ein Problem: Ich brauche zu dieser Funktion f(x) = x^p * e^(r*x) eine Anwendung. Ich habe schon versucht blind drauflos Proffessoren (z.B.) anzuschreiben, aber irgendwie kam kaum was zurück. Das einzigste, was ich weiß ist, das so eine ähnliche Funktion in der Chemie irgendwo eine Rolle spielt. |
Kai
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Dezember, 2000 - 17:35: |
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Frag mal auf chemie4u nach, vielleicht weiß ja jemand was von den Moderatoren dort.
Kai |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 12:39: |
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Darf r auch komplex sein?
Dann wäre das für p=1 die zeitabhängige Größe der Auslenkung eines gedämpften Schwingers im aperiodischen Grenzfall. |
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