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Beitrag |
    
dcom
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Mai, 2002 - 19:26: | 
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ich komm leider nicht sehr weit beim bestimmen der nullstellen !
2wochen vor der prüfung noch ein neues thema - so ein mist !!
hoffentlich kann mir jemand schnell helfen !!
(-x^3+6x^2-9x+2) |
Esfor
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Mai, 2002 - 19:36: |
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Probiere die ganzzahligen Teiler des Absolutgliedes 2:
also -2, -1, 1, 2
und siehe da:
-2³ + 6*2² -9*2+2 = -8+24-18+2 = 0
also x=2 ist Nullstelle
Wenn du bei der Polynomdivision
(-x^3+6x^2-9x+2) : (x-2) = ?
nicht weiterkommst, melde dich nochmal |
dcom
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Mai, 2002 - 20:16: |
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erstmal : danke für die schnelle hilfe !
warum : (x-2) und nicht (x-1) ?
(x^3+2x^2-13x+10)/(x-1) <---- warum hier (x-1)
ich habe als lösung 3 nullstellen (0,27/2/3,73)!
(-x^3+6x^2-9x+2)/(x-2)=(-x^2+4x-1) <-- ?
(-x^3)/(x)=(-x^2) <-- ok
aber wo kommen die 4x und -1 her ?? |
Esfor
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Mai, 2002 - 00:19: |
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warum : (x-2) und nicht : (x-1) bei (-x^3+6x^2-9x+2) ?
Antwort: weil x=1 keine Nullstelle von -x^3+6x^2-9x+2 ist.
wo nun die 4x und -1 herkommen:
also:
(-x^3+6x^2-9x+2) : (x-2) = -x² + 4x + -1
-x^3+2x^2
----------
4x^2-9x
4x^2-8x
------------
-x+2
-x+2
------
0
die 3 nullstellen (0,27/2/3,73) waren wohl hierfür gemeint.
Bei
(x^3+2x^2-13x+10) ist es egal, es kommt ganz einfach drauf an, was am ehesten erraten wird:
(x^3+2x^2-13x+10) = (x+5)*(x-1)*(x-2), d.h., es ginge beides:
sowohl : (x-1) als auch : (x-2), und wenn halt die Nullstelle x=-5 zuerst probiert wurde, auch : (x+5).
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dcom
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Mai, 2002 - 13:49: |
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also muss ich willkürlich zahlen in die stammfunktion einsetzen bis ich eine nullstelle erhalte - und kann dann erst durch polynomdivision die nullstellen exakt bestimmen !?
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Esfor
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Mai, 2002 - 22:32: |
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Nein, du kannst das zwar tun, du musst es aber nicht. Jedenfalls nicht völlig willkürlich.
Bei manchen Funktionen kannst du auch Nullstellen ermitteln, indem du ...
lass mich dir das besser an deinen Beispielen erklären:
Wie im letzten Beitrag gesagt, gibt es neben anderen Möglichkeiten die Möglichkeit
1) die Teiler des Absolutgliedes durchzuprobieren.
Das wären im Fall der Funktion g(x) = x^3+2x^2-13x+10 alle Zahlen der Menge {-10,-5,-2,-1,1,2,5,10}.
Wenn sich darunter keiner findet [oder es dir zu lange dauert, weil es zu viele sind] würde ich dir [zusätzlich] eines der folgenden Verfahren empfehlen (ist nicht gesagt, dass immer alle klappen):
2) Betrachtung für betragsmäßig große Werte von x
f(x) = -x^3+6x^2-9x+2 geht für x --> +oo gegen -oo.
Also sind Funktionswerte von großen x negativ, der Funktionswert f(0)=2 ist aber positiv.
Also muss rechts von x=0 eine Nullstelle liegen, da, anschaulich gesagt, der Graph die x-Achse zwischen x=0 und großen x-Werten schneiden muss:
Also brauchst du nur x-Werte durchzuprobieren, die größer als 0 sind, also von Nr. 1) bleiben bloß 1 und 2 übrig.
Zum Aufsuchen einer Nullstelle von g(x)=x^3+2x^2-13x+10 prüfe die ganzzahligen Teiler von 10, also alle Zahlen der Menge {-10,-5,-2,-1,1,2,5,10}, wobei mit diesem Verfahren der Bereich, der zuerst abgesucht werden sollte, auf die negativen Zahlen eingeschränkt werden kann:
wegen g(0)=10 und g(x) --> -oo für x --> -oo muss eine Nullstelle für ein x=x0 mit x0 < 0 vorhanden sein.
3) (klappt seltener)
Du könntest auch einfach erst die Extrema von f bestimmen (ein Hochpunkt bei x=3 und ein Tiefpunkt bei x=1, wobei f(3)=2 ist und f(1)=-2 ist, also muss eine Nullstelle zwischen 1 und 3 liegen, da der Graph, um den Punkt (1|-2) mit dem Punkt (3|2) zu verbinden, die x-Achse schneiden muss.
4) oder mit Iterationsverfahren an eine Nullstelle annähern:
für f(x)=0 stellst du die Gleichung -x^3+6x^2-9x+2 = 0 nach dem x³ um:
x³ = 6x^2-9x+2, dritte Wurzel ziehen, x = ³Ö(6x²-9x+2)
also die Rekursionsformel:
xn+1 = ³Ö(6xn²-9xn+2)
und nun wiederholt "das für xn rechts einsetzen, was links für xn+1 herauskommt":
z.B. mit x0=0 starten und dann:
x1 = 1,26
x2 = 0,57
x3 = -1,18
x4 = 21
x5 = 13,5
x6 = 9,9
x7 = 7,95
x8 = 6,73
x9 = 5,98
x10 = 5,46
x11 = 5,09
x12 = 4,81
x13 = 4,6
x14 = 4,44
x15 = 4,32
x16 = 4,22
x17 = 4,14
x18 = 4,07
x19 = 4,02
x20 = 3,97
x21 = 3,93
x22 = 3,9
x23 = 3,88
x24 = 3,85
x25 = 3,84
x26 = 3,82
x27 = 3,81
x28 = 3,8
x29 = 3,79
x30 = 3,78
x31 = 3,77
x32 = 3,77
x33 = 3,76
x34 = 3,76
x35 = 3,75
x36 = 3,75
x37 = 3,75
x38 = 3,75
x39 = 3,74
x40 = 3,74
x41 = 3,74
x42 = 3,74
x43 = 3,74
x44 = 3,74
x45 = 3,74
x46 = 3,74
x47 = 3,74
x48 = 3,73
Es scheint nicht gegen eine ganze Zahl zu konvergieren.
Für die Funktion f(x) ist dieses Verfahren also nicht so hilfreich, da es die irrationale Nullstelle 2+Ö3 annähert, aber eigentlich eine ganzzahlige zur Polynomdivision viel geeigneter wäre.
Bei g(x) gibt es aber einen guten Hinweis auf die Nullstelle x=-5:
Zur Bestimmung einer Nullstelle von g(x) = x^3+2x^2-13x+10 würde mit diesem Verfahren die Nullstelle x=-5 zuerst gefunden werden.
Dies Verfahren hat natürlich den Nachteil, dass es sehr lange dauert, es gibt da noch andere Näherungsverfahren zur Berechnung von Nullstellen, sagt dir der Name "Newton-Verfahren" etwas?
Da du schreibst, dass es nur noch zwei Wochen bis zur Prüfung sind, nehme ich nicht an, dass du es kennst.
Andererseits sollte es dann aber auch nicht zu erwarten sein, dass es total schwer wird, so dass du eigentlich mit einer Kombination der Verfahren Nr. 1) und 2) schon ganz gut bedient bist:
zum Aufsuchen einer Nullstelle von f(x) prüfe also die ganzzahligen Teiler von 2, die rechts von x=0 liegen.
Zum Aufsuchen einer Nullstelle von g(x)=x^3+2x^2-13x+10 prüfe die ganzzahligen Teiler von 10,
wobei, wie unter "Verfahren Nr. 2)" schon steht, eine Nullstelle bei x=x0 mit x0<0 vorhanden sein muss, also:
untersuche g(-10), g(-5), g(-2) und g(-1), ob eines von ihnen gleich Null wird. |
dcom
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Mai, 2002 - 15:02: |
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ok
ich denke - so weit hab ich es verstanden !
werd noch ein paar aufgaben rechnen !
newton-verfahren kenn ich aber nicht !!
ich kann mich nur nochmal für die schnelle hilfe bedanken - mein lehrer kann den stoff irgendwie nicht vermitteln ! warum sind die lehrer immer in den wichtigen fächern so inkompetent !!??
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Esfor
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Mai, 2002 - 17:13: |
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ok, hier noch ein paar Aufgaben:
Bestimme jeweils alle Nullstellen von
a) f(x) = x^3 +x^2 -14*x -24
b) f(x) = x^3 -7*x -6
c) f(x) = x^3 +3*x^2 -4
Viel Erfolg bei der Prüfung.
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dcom
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Mai, 2002 - 16:59: |
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hab nochmal ne frage zu dieser aufgabe :
x^3+2x^2-13x+10
warum kommen bei (x-1) und (x-2) andere ergebnisse raus ?
und was gibt das ergebnis an --> = -x² + 4x + -1 (andere aufgabe) |
Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 218
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Mai, 2002 - 19:30: |
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Hi dcom
Ich fange mal damit an, dass du dein Polynom faktorisieren kannst.
x^3+2x^2-13x+10 =(x-a1)(x-a2)(x-a3)
Wobei a1, a2 und a3 die Nullstellen sein sollen. Dies geht nicht immer im Bereich der reellen Zahlen, in deinem Beispiel aber schon.(Im Komplexen geht eine solche Faktorisierung immer(Fundamentalsatz der Algebra)).
Die Nullstellen waren 1,2 und -5, also kannst du das folgendermaßen schreiben:
x^3+2x^2-13x+10=(x-1)(x-2)(x+5)
Wenn du jetzt durch (x-2) teilst, bleibt (x-1)(x+5)=x^2+4x-5 übrig, wenn du durch (x-1) teilst, bleibt (x-2)(x+5)=x^2+3x-10 übrig. Die beiden Ergebnisse sind natürlich verschieden.
und was gibt das ergebnis an --> = -x² + 4x + -1 (andere aufgabe)
Nachdem du die erste Nullstelle geraten hattest, kam das bei der Polynomdivision raus. Die Nullstellen von diesem Polynom 2.Ordnung sind auch gleichzeitig die Nullstellen von deinem Polynom 3.Ordnung(das siehst du ganz leicht, wenn du dir die Faktorisierung aus dem anderen Beispiel anschaust). Um die Nullstellen herauszufinden gibt es ja allgemein bekannte Formeln, wie z.B. die p,q-Formel. Du kannst natürlich auch eine quadratische Ergänzung machen etc.
Noch eine letzte kleine Bemerkung...Unter dem Stichwort Cardanische Formel findest du eine Formel, um die Nullstellen von Polynomen 3.Ordnung zu berechnen.
MfG
C. Schmidt
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Clau
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Oktober, 2002 - 15:32: |
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Habe zwar folgende Polynomdivision bereits ausgerechnet, bin mir aber nicht ganz sicher:
(2x^3 - 3x^2 + 4) x^2 + 4x)
Vielleicht könnte mir ja jemand helfen.
Danke! |
Flax
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Oktober, 2002 - 17:59: |
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Hallo Clau,
bitte hänge deine Fragen nicht an andere an sondern öffne einen neuen Beitrag! |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 561
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Oktober, 2002 - 18:25: |
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Hi Clau
(2x^3-3x^2+4)/(x^2+4x)=2x-11+(44x+4)/(x^2+4x)
-(2x^3+8x^2)
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-11x^2+4
-(-11x^2-44x)
-----------
44x+4
MfG
C. Schmidt |
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