    
A.K. (akka)
Junior Mitglied
Benutzername: akka
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Mai, 2002 - 09:16: | 
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Hallo Bianca
ft(x)=e-etx
a) Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen):
ft(x)=0
<=> e-etx=0
<=> etx=e
<=> tx=1 |:t
<=> x=1/t
=> N((1/t)|0) ist der Schnittpunkt mit der x-Achse.
Schnittpunkt mit der y-Achse; also x=0
=> ft(0)=e-et*0=e-e0=e-1
=> S(0|e-1) ist der Schnittpunkt mit der y-Achse.
Steigung in den Punkten N und S entspricht der 1. Ableitung in den Punkten N und S; also
ft'(x)=-tetx
=> Steigung in N: ft(1/t)=-tet*(1/t)=-te1=-te
Steigung in S: ft(0)=-tet*0=-te0=-t*1=-t
b) Tangente und Normale im Punkt S(0|e-1) haben beide den y-Achsenabschnitt b=e-1
Steigung der Tangente ist die 1. Ableitung in S.
Sie wurde oben bereits berechnet; also m=-t
=> Tangente lautet: y=-tx+e-1
Steigung der Normalen ist m=1/t
=> Normale lautet: y=(1/t)*x+e-1
Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse:
0=-tx+e-1
<=> tx=e-1
<=> x=(e-1)/t für t<>0
Schnittpunkt der Normalen y=(1/t)x+e-1 mit der x-Achse:
0=(1/t)x+e-1
<=> -(e-1)=(1/t)x
<=> -t(e-1)=x
Abstand der Schnittpunkte voneinander:
d(t)=|(e-1)/t+t(e-1)|
Für t>0 folgt damit
d1(t)=(e-1)/t+t(e-1) und für t<0
d2(t)=-(e-1)/t-t(e-1)
Ableitungen sind:
d1'(t)=-(e-1)/t²+e-1 bzw. d2'(t)=(e-1)/t²-(e-1)
Extrema:
d1'(t)=0 <=> t²(e-1)=e-1 <=> t²=1 => t=1, da t>0
d2'(t)=0 <=> e-1=(e-1)t² <=> t²=1 => t=-1, da t<0
Wegen d1"(t)=2(e-1)/t³ => d1"(1)=2(e-1)>0 =>Min
wegen d2"(t)=-2(e-1)/t³ => d2"(-1)=2(e-1)>0 => Min
Es handelt sich also jeweils um ein Minimum.
Für die Länge der Strecke gilt:
d(1)=|(e-1)+(e-1)|=|2e-2|=3,44 bzw.
d(-1)=|-(e-1)-(e-1)|=|-2e+2|=3,44
Mfg K.
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