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Wembley (wembley)
Neues Mitglied
Benutzername: wembley
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 18:52: | 
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Ein Blumenbeet soll folgende Form erhalten: An zwei gegenüberliegenden Seiten eines Rechteckes werden Halbkreise, an die beiden anderen Seiten werden Quadrate angefügt.
Es stehen Platten für 10m Einrandung des Beetes zur Verfügung. Welche Abmessungen muss das Beet bekommen, wenn möglichst wenig Gartenfläche verbraucht werden soll.:D
Danke für eure Hilfe |
A.K. (akka)
Neues Mitglied
Benutzername: akka
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Mai, 2002 - 09:27: |
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Hallo Wembley
ich stelle mir das Beet so vor:
Das Rechteck hat also die Seitenlängen a und b.
Rechts und links sind Quadrate der Seitenlänge b angefügt; oben und unten je ein Halbkreis mit dem Radius r=a/2
Für den Umfang des Beetes gilt nun:
U=6*b+2*p*(a/2)=6b+ap
Da für die Umrandung 10m zur Verfügung stehen, folgt
10=6b+ap
<=> 6b=10-ap
<=> b=(10-ap)/6 (Nebenbedingung)
Flächeninhalt soll minimal werden:
Für den Flächeninhalt des Beetes gilt:
A=2*Quadrat+Rechteck+2*Halbkreis; also
A=2*b²+a*b+2*(p*(a/2)²)/2
A=2b²+ab+(a²/4)p
Nebenbedingung einsetzen, ergibt
A(a)=2*((10-ap)/6)²+a*(10-ap)/6+(a²/4)p
A(a)=2*(100-20ap+a²p²)/36+(10/6)a-(a²/6)p+(a²/4)p
A(a)=(1/36)*(2a²p²+3a²p-40ap+60a+200)
Um ein Extremum zu bestimmen, setzt man die 1. Ableitung 0; also
A'(a)=(1/36)*(4ap²+6ap-40p+60)=0
<=> 4ap²+6ap=40p-60
<=> a=(40p-60)/(4p²+6p)=1,126m
=> b=(10-1,126*p)/6=1,077
Damit hat das mittlere Rechteck die Abmessungen
a=1,126m und b=1,077 m
Mfg K. |
Wembley (wembley)
Neues Mitglied
Benutzername: wembley
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Mai, 2002 - 15:26: |
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Vielen Dank für die Hilfe :D
MFG Wemby |
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