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Beitrag |
    
Gani
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. November, 2000 - 10:44: | 
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Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:
|z+2i|+|z-2i|=6
Wie sieht die Kurve dazu aus?
Bitte helft mir.
Dankeschön |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. November, 2000 - 13:19: |
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Hi Gani, hi Mela,
Eure Aufgabe ist im ganzen Board omnipräsent.
Es ist an der Zeit, sie zu lösen
Prima vista ist folgendes zu sagen:
Die gesuchte Ortskurve des Punktes P, welcher der
komplexen Zahl
z = x + i y in der Zahlenebene von Gauss entspricht,
ist eine Ellipse, deren Brennpunkte F1 und F2 auf der
y-Achse liegen.
Die x - Koordinaten dieser Punkte sind beide null,
die y-Koordinaten sind minus 2 und plus zwei,
denn diese Punkte entsprechen den (rein imaginären) Zahlen
-2i und + 2i .
Der Nullpunkt ist der Mittelpunkt der Ellipse.
Die Absolutbeträge, die in der gestellten Aufgabe auftreten,
sind ja nichts anderes als die Abstände des variablen Punktes z
von den genannten Punkten
Eine konstante Abstandssumme des laufenden Punktes
ergibt bekanntlich eine Ellipse.
Die Daten dieser Ellipse sind:
Grosse Halbachse a = ½ *6 = 3
(Hälfte der genannten Abstandssumme)
Lineare Exzentrizität e als Hälfte des Abstandes
der Brennpunkte, also e = 2
Für die kleine Halbachse b gilt : b^2 = a^2 - e^2 = 5,
somit b = wurzel(5).
Achtung: Die y-Achse ist Fokalachse ,entgegen dem
üblichen Gebrauch einer Ellipse in Schulaufgaben,somit liegen
die Hauptscheitel A und B auf der y-Achse.
Man erhält diese, indem man a = 2
vom Nullpunkt aus nach beiden Seiten hin abträgt.;
trägt man b = wurzel (5) von O aus auf der x-Achse ab,
so erhält man die Nebenscheitel.
Die Mittelpunktsgleichung der Ellipse lautet
9 x ^ 2 + 5 y ^ 2 = 45
Diese Gleichung lässt sich auch direkt, wenn auch
etwas umständlich, aus der gegebenen komplexen
Bedingungsgleichung herleiten
Auf Wunsch werde ich dies tun.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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