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Lara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Mai, 2002 - 17:27: | 
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Hallo kann mir jemand bei diesen Aufgaben helfen?
1. a) Bestimme mit dem grenzwert der Sekantensteigung die Steigung der Funktion f mit f(x) = 2 x hoch 2 - 5 an der Stelle x0.
b) In welchem Punkt P (x0 / y 0) hat der Graph von f die Steigung mt = 1 ?
2. Eine ware wird in zylindrischen Dosen verkauft, deren Deckflächen aus Pappe bestehen, während die Mantelfläche aus Metall besteht.
Der Preis für 1 cm hoch 2 Pappe beträgt 0,1 Pfennig, Metall ist fünfmal so teuer.
Wie ist der Radius r der Dose zu wählen, damit bei einem Volumen von V = 500 cm hoch 2 die Kosten für die Dose minimal werden?
Danke und noch nen schönes Restwochende.
Lara |
Lara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 17:20: |
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Kann mir wohl jemand helfen?
Lara |
Lara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Mai, 2002 - 05:36: |
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Bitte ! |
juergen
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Mai, 2002 - 12:48: |
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Hallo Lara,
1.a) Ich bezeichne die Sekantensteigung mit ms und limes von ms für x gegen x0 mit Lim[ms].
Die Sekantensteigung ist zunächst
ms = (f(x) - f(x0))/(x - x0)
also für Deine Funktion ("x hoch" schreibe ich als x^)
ms = (2*x^2 - 2*x0^2)/(x - x0) = 2*(x^2 - x0^2)/(x - x0)
Ziel ist jetzt, den Ausdruck für die Sekantensteigung so umzuwandeln, daß man den Grenzübergang vollziehen kann:
Für den Ausdruck in der Klammer im Zähler gilt der Spruch: Binom erkannt, Gefahr gebannt, d.h., wie Du leicht zeigst gilt
(x^2 - x0^2) = (x - x0)*(x + x0)
Damit kann man den Term (x-x0) für x ungleich 0 herauskürzen, und man erhält für den Grenzwert
Lim[ms] = Lim(2*(x+x0)) = 4*x0
1b) in a) hast Du herausgefunden, daß die Steigung mt der Tangente im Punkt (x0/y0) gleich
mt = 4*x0
ist
Also mt = 1 => x0 = 1/4
f(1/4) = 2*(1/4)^2 - 5 =
Das schaffst Du alleine, ja?
Bin gleich nochmal mit der Dosenaufgabe zurück, falls noch Interesse besteht, und Du die Aufgabe nicht heute morgen gebraucht hättest?
Gruss
J.
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juergen
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Mai, 2002 - 14:41: |
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Hallo Lara,
Hallo Lara, wie versprochen die zweite Aufgabe:
2.) Zuerst mach Dir klar, welche Größe in Abhängigkeit von welcher anderen Größe minimiert werden soll. Hier suchst Du den Radius r der Dose, so daß bei fest vorgegebenem Dosenvolumen V ihr gesamter Herstellungspreis minimal wird.
Zylindergeometrie (Höhe h, Radius r):
Volumen der Dose
V = Pi*h*r^2 = 500 cm^3
Fläche der beiden Deckel (zwei Kreise):
AD = 2*Pi*r^2
Mantelfläche:
AM = 2*Pi*r*h
Der Preis für die Deckelflächen, wenn sie in cm^2 gemessen werden, ist dann
PD = 0.1*2*Pi*r^2
und die Mantelfläche (gemessen in cm^2) kostet
PM = 0.5*2*Pi*h*r
Der Gesamtpreis der Dose ist dann
P = PD + PM = 0.1*2*Pi*r^2 + 0.5*2*Pi*h*r
Wie Du erkennst, hängt der Gesamtpreis noch von zwei Größen r, und h, ab, aber h kann man mit Hilfe des festen Volumens gemäß
h = V/(pi*r^2)
rauswerfen, dann wird
P(r) = (1/5)*Pi*r^2 + V/r
Dasjenige r für das P(r) einen Extremwert annimmt, findest Du indem Du P(r) nach r ableitest, Null setzt und nach r auflöst:
P'(r) = (2/5)*Pi*r - V/r^2 = 0
r^3 = (5/(2*Pi))*V
Wenn ich Zahlen einsetze, bekomme ich
r = 7.36 cm
h = 2.94 cm
rechne aber bitte nach!
Hab Spass
J. |
Lara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Mai, 2002 - 16:11: |
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Vielen Dank Jürgen
Gruß Lara |
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