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Swooooooop
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Mai, 2002 - 16:05: | 
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Bestimme die Gleichung des Kreises, der die Kurve y=1/4*x^2 in den Punkten mit der Ordinate 3 berührt. Die von beiden Kurven eingeschlossene suichelförmige Fläche rotiert um die y- Achse. Bestimme das Volumen des entstehenden Drehkörpers! |
juergen
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 13:32: |
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Hallo Swop
Verschaff Dir zuerst einen Schnittpunkt (xs/ys) zwischen Kreis und Parabel, sowie den Radius des Kreises:
Parabelgleichung:
(1): y = (1/4)*x^2
Kreisgleichung:
(2): x^2 + y^2 = R^2
ys = 3 in (1) eingesetzt und nach x aufgelöst ergibt
xs = 2*sqrt(3)
ys und xs in die Kreisgleichung eingesetzt ergibt
R^2 = 21, bzw R = sqrt(21)
Das Volumen von Kurven y = f(x), welche um die y-Achse rotieren berechnet mithilfe deren Umkehrfunktion x(y) gemäß
(3): Vy = Pi*Integral([x(y)]^2)dy
Die Umkehrfunktion der Parabe (1) lautet (nach x auflösen)
(4): x(y) = 2*sqrt(y),
und der Kreis nach x aufgelöst ergibt (der obere Halbkreis wird nur benötigt):
(5): x(y) = sqrt(R^2-y^2)
Das gesamte Rotationskörpervolumen erhält man jetzt als Summe aus dem Volumen der rotierenden Parabel und dem rotierenden Kreis
Vy = Vp + Vk
(6): Vy = 4*Pi*Integral(y)dy + Pi*Integral(R^2-y^2)dy
Das erste Integral auf der rechten Seite erstreckt sich von y=0 bis y=ys, das zweite Integral ist auszuwerten zwischen y=ys und y=R
Kriegst Du das hin?
Wenn ich mich nicht verechnet habe, kommt als numerischer wert
Vy = 53.7
heraus.
Hab Spass
J.
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