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Richmond
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Mai, 2002 - 15:59: | 
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Die Punkte A (-5/6/-6), B(13/14/-4) und C (1/-10/4) liegen auf einem Großkreis der Kugel k. Die Gerade g... x=(7/2/14)+t(2/3/-1) schneidet die Kugel in 2 Punkten. Derjenige Schnittpunkt (Sz>0), der von der Ebene ABC weiter entfernt ist, sei die Spitze eines Tetraeders mit der Grundfläche ABC. Berechne dessen Volumen.
Ich weiß einfach nicht, wie man auf die Kugelgleichung kommt! Bitte helft mir! |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 08:25: |
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Hi Richmond,
Idee zur Lösung Deiner Aufgabe.
Da der Kreis durch die gegebenen Punkte A,B,C ein
Grosskreis der Kugel sein soll, liegt der Mittelpunkt
M der Kugel in der Ebene E, welche durch diese Punkte
bestimmt wird.
Wir ermitteln daher zuerst in der Teilaufgabe (I) eine
Gleichung von E.
U sei der Mittelpunkt der Seite AB, V derjenige
der Seite AC.
Durch U legen wir die Ebene F, senkrecht zu AB,
durch V die Ebene G, senkrecht zu AC
F ist also die Mittelnormalebene der Strecke AB
G die Mittelnormalebene der Strecke AC
Ausführung in der Teilaufgabe (II)
Der Mittelpunkt M der Kugel ist der Schnittpunkt
der drei Ebenen E,F,G.
Durchführung in der Teilaufgabe (III)
Der Kugelradius r stimmt mit den Streckenlängen
MA, MB, MC überein, also mit den Beträgen der
entsprechenden Vektoren.
Aus M und r ergibt ich die Kugelgleichung ;
Berechnungen in Teilaufgabe (IV).
In der Teilaufgabe (V) wird der spezifizierte
Schnittpunkt S der Geraden mit der Kugel ermittelt
Teilaufgabe (VI)
Berechnung des Volumens V des Tetraeders nach der
Formel
V = 1/3 * J * d ,
wobei J die Fläche des Dreiecks ABC , d der mit der
Formel von Hesse bestimmte senkrechte Abstand
der Spitze S von der Ebene E der Grundfläche ABC
darstellen.
Lösungen
Teilaufgabe (I)
Verbindungsvektor u = AB ={18;8;2}
Verbindungsvektor v = AC ={6;-16;10}
Das Vektorprodukt n der Vektoren u und v ist
ein Normalenvektor der Ebene E.
Ergebnis:
n = {112;-168;-336} = 56*{2;-3;-6}
Die Koordinaten in der letzten geschweiften
Klammer können als Koeffizienten von x, y, z
der Ebenengleichung benützt werden;
Ansatz für diese Gleichung:
E: 2x – 3y –6z = k; Ermittlung von k
Der Punkt A liegt auf E., daher gilt
-10 –18 +36 = k , also k = 8
Gleichung von E: 2x – 3y –6z = 8
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Kontrolle: die Koordinaten von B und C erfüllen
diese Gleichung
Teilaufgabe (II)
Die Koordinaten von U ergeben sich als arithmetische
Mittel der Koordinaten der Punkte A und B, somit:
U(4/10/-5)
Die Koordinaten von V ergeben sich als arithmetische
Mittel der Koordinaten der Punkte A und C, somit:
V(-2/-2/-1).
Der oben ermittelte Vektor u =AB ={18;8;2}= 2{9;4;1}
ist ein Normalenvektor der gesuchten Mittelnormalebene F
Gleichung von F:
9 x + 4 y + z = k mit k = 36 + 40-5 = 71, da U auf F liegt.
F: 9 x + 4 y + z = 71
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Der oben ermittelte Vektor v =AC = {6;-16;10}=2{3;-8;5}
ist ein Normalenvektor der gesuchten Mittelnormalebene G
Gleichung von G:
3 x - 8 y + 5 z = k mit k = -6 + 16 -5 = 5, da V auf G liegt.
G: 3 x - 8 y + 5 z = 5
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Teilaufgabe (III)
Ermittlung des Schnittpunktes M der drei Ebenen E,F,G :
Wir haben ein lineares Gleichungssystem aus drei
Gleichungen mit drei Unbekannten aufzulösen
Das System lautet:
2 x – 3 y – 6 z = 8
9 x + 4 y + z = 71
3 x - 8 y + 5 z = 5
Lösung : x = xM =7 , v = vM = 2, z =zM = 0
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Teilaufgabe IV
Vektor MA= {12;-4;6}, Betrag : wurzel(144+16+36) = 14
Vektor MB = {-6;-12;4}, Betrag : wurzel(36+144+16) = 14
Vektor MC = {6;12;-4}, Betrag : wurzel(36+144+16) = 14
Mehrfach bestätigt:
r = 14 ist der Kugelradius
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Die Kugelgleichung lautet somit:
(x – 7) ^ 2 + (y – 2) ^ 2 + z ^ 2 = 196
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Fortsetzung folgt
MfG
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 09:36: |
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Teilaufgabe V
Die skalare Parameterdarstellung der Geraden g lautet
x = 7 + 2t , y = 2 + 3 t , z = 14 – t
Eingesetzt in die Kugelgleichung
(x – 7) ^ 2 + (y – 2) ^ 2 + z ^ 2 = 196
führt auf eine Gleichung für den Parameter t :
14 t^2 – 8t= 0 mit den Lösungen t1= 0 und t2 = 2
Die zugehörigen Schnittpunkte von g mit der Kugel
sind die Punkte
S1 (7 / 2 / 14), S2 (11 / 8 / 12).
Um zu entscheiden, welcher dieser Punkte als Spitze S
des Tetraeders in Frage kommt, berechnen wir den
Abstand d1 des Punktes S1 und den Abstand d2
des Punktes S2 von der Ebene E.
Hessesche Normalform der Gleichung von E:
( 2 x – 3 y – 6z – 8 ) / wurzel(2^2+3^2+6^2) = 0 oder
( 2 x – 3 y – 6z – 8 ) / 7 = 0
Einsetzen der Koordinaten von S1 bezw. von S2
gibt die Abstände d1 bezw. d2
d1 = (14- 6 - 84 - 8) / 7 = - 84/ 7 = -12, absoluter Betrag d = 12
d2 = (22- 24 -72 – 8) / 7 = - 82/ 7 , absoluter Betrag < 12
Somit ist S = S1 der gesuchte Punkt und d = 12 ist die Höhe
des Tetraeders, welche zur Grundfläche ABC senkrecht steht .
Teilaufgabe (VI)
Der Flächeninhalt J des Dreiecks ABC stimmt mit der Hälfte
des Betrages des Vektorprodukts n = uxv überein.
Somit nach Teilaufgabe (I):
J = ½ * abs (n) = ½ * wurzel(112^2+168^2+336^2) = 196
Das Volumen V berechnen wir mit der Formel
V = 1/3 * J * d = 1/3* 196 * 12 = 784 (Volumeneinheiten)
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MfG
H.R.Moser,megamath
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