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Beitrag |
    
Nadja
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Mai, 2002 - 12:28: | 
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Hi, wer von Euch kann mir helfen?
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 4 x hoch 3 - x hoch 4
1. Diskutiere die Funktion auf
1.1 Nullstellen
1.2 Extrempunkte
1.3 Wendepunkte
1.4 Verhalten im Unendlichen
2. Zeichne den Graphen von f in ein Koordinatensystem (-2 ist kleiner als x ist kleiner als 6, - 30 ist kleiner als y ist kleiner als 30, auf der y-Achse sind 5 Längeneinheiten 1 cm, auf der x-Achse ist eine Längeneinheit 1 cm.
3. Berechne die Gleichung die Wendetangenten.
Schönen Dank schonmal vorab.
Nadja |
Lars (thawk)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: thawk
Nummer des Beitrags: 155
Registriert: 12-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Mai, 2002 - 17:09: |
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Hi Nadja.
1.1 Nullstellen
f(x) = -x4 + 4x3
Bedingung für Nullstellen: f(x) = 0
0 = -x4 + 4x3
<=> 0 = x3 * (-x + 4)
Ein Produkt ist null wenn einer der Faktoren null ist:
<=> 0 = x3 V 0 = -x + 4
<=> x = 0 V x = 4
Also hat die Funktion Nullstelln bei x = 0 und x = 4
1.2 Extrempunkte
Erstmal bilde ich alle Ableitungen:
f'(x) = 12x2 - 4x3
f''(x) = 24x - 12x2
f'''(x) = 24 - 24x
Notwendige Bedingung für Extrema: f'(x) = 0, also:
0 = 12x2 - 4x3
<=> 0 = x2 * (12 - 4x)
<=> x2 = 0 V 12 - 4x = 0
<=> x = 0 V x = 3
Wir haben mögliche Extrema an den Stellen x = 0 und x = 3.
hinreichendes Kriterium: f'(x) = 0 UND f''(x) <> 0 [<> heißt ungleich]
für x = 0:
f''(0) = 24*0 - 12*02 = 0
Damit ist das hinreichende Kriterium für x = 0 nicht erfüllt, hier liegt also kein Extremum.
für x = 3:
f''(3) = 24*3 - 12*32
<=> f''(3) = 72 - 108 = -36 < 0
Damit liegt an der Stelle x = 3 ein lokales Maximum. Jetzt errechnest du noch die Punktkoordinaten durch Einsetzen von x = 3 in f(x).
1.3 Wendepunkte
notwendiges Kriterium: f''(x) = 0
0 = 24x - 12x2
<=> 0 = 12x * (2 - x)
<=> x = 0 V 2-x = 0
<=> x = 0 V x = 2
Also: mögliche Wendepunkte bei x = 0 und x = 2.
hinreichendes Kriterium: f''(x) = 0 UND f'''(x) <> 0:
f'''(0) = 24 - 24*0 = 24 <> 0
f'''(2) = 24 - 24*2 = -24 <> 0
Damit liegen an den Stellen x = 0 und x = 2 Wendestellen. Auch hier rechnest du wieder die Punktkoordinaten durch Einsetzen in f(x) aus.
1.4 Verhalten im Unendlichen
Das siehst du am besten, wenn du erst x3 ausklammerst und dann in der Form
f(x) = x3 * (4-x)
überlegst.
Für x -> -unendlich:
x3 wird unendlich klein (vom Betrag her unendlich groß, aber mit negativem Vorzeichen).
4-x wird unendlich groß, im positiven Bereich.
Daraus ergibt sich, dass f(x) gegen -unendlich aus gegen -unendlich strebt. (minus * plus gibt minus)
Für x -> +unendlich:
x3 wird unendlich groß.
4-x wird dagegen unendlich klein.
Damit strebt auch hier wieder f(x) für x->+unendlich gegen -unendlich.
2. Zeichnung
Die musst du schon selber anfertigen, wenn du die o.g. Informationen auswertest und dir evtl. noch ein paar Funktionswerte errechnest dürftest du klar kommen.
3. Wendetangenten
Die Tangenten in den Wendepunkte lassen sich recht einfach errechnen:
Die Punkte hast du ja bereits unter 1.3 herausbekommen. Die Steigung der Tangenten errechnest du durch Einsetzen der x-Koordinaten des Wendepunkts in die 1. Ableitung. (die erste Ableitung ist ja als Steigung der Tangente definiert).
Die Geradengleichung ist dann mit Hilfe der Punkt-Steigungs-Form aufzustellen.
Ich hoffe, das hat dir weitergeholfen.
Machs gut,
Lars |
Nadja
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 15:38: |
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Hallo Lars,
erklärst Du mir nocheinmal wie ich die Wendetangenten berechnen kann?
Das wäre lieb.
Danke Nadja |
Lars (thawk)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: thawk
Nummer des Beitrags: 168
Registriert: 12-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 19:04: |
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Hi Nadja.
Was hast du denn nicht so genau verstanden? Ich werds auf jeden Fall noch einmal beschreiben. Wenns dann immernoch nicht ganz klar ist, frag einfach noch mal genauer nach.
Okay, dann mal los:
Was brauchst du, wenn du eine Geradengleichung angeben sollst (denn das ist hier ja Sinn der Sache)?
1.) Die Steigung der Geraden
2.) Den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse ("y-Achsenabschnitt", b)
Damit erhälst du dann deine Geradengleichung y = mx + b
Das Wort "Wendetangente" beinhaltet schon einige Informationen:
1.) Die gesuchte Gerade ist eine Tangente an den Graphen der Funktion f.
2.) Sie berührt die Funktion im Wendepunkt.
Eine Wendestelle ist ja x = 2.
Der Wendepunkt hat damit die Koordinaten W(2|16).
Wie ist die Ableitung definiert? Als Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen im entsprechenden Punkt. Also musst du zum Errechnen der Wendetangenten-Steigung den Wert der 1. Ableitung an der Stelle x = 2 errechnen.
Du setzt ein:
f'(2) = 12*22 - 4*23
= 48 - 32 = 16
Die Steigung m der Wendetangente ist also m = 16.
Jetzt gibt es die sogenannte Punkt-Steigungs-Form. Mit ihr kannst du Geradengleichungen aufstellen von denen du einen Punkt und die Steigung gegeben hast.
Sie lautet:
y - y1 = m * (x - x1)
y1 und x1 sind hierbei die Koordinaten des Geradenpunktes, m die Steigung. Du setzt ein:
y - 16 = 16 * (x - 2)
<=> y = 16x - 32 + 16
<=> y = 16x - 16
Das ist damit die Gleichung deiner Wendetangente.
Das gleiche Vorgehen ist dann noch für x=0 erforderlich. Pass aber auf, hier sieht die Geradengleichung etwas anders aus. x=0 ist nämlich ein horizontaler Wendepunkt, da die erste Ableitung auch 0 ist. Damit ist die Wendetangente eine Parallele zur x-Achse.
Ich hoffe mal, dass ich mich im Beispiel nicht verrechnet habe - dürfte aber eigentlich passen.
Viel Erfolg beim Nachrechnen,
Lars |
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