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Roxana
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Mai, 2002 - 10:33: | 
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Ich soll folgende Aufgabe lösen:
Wie groß ist der Grenzwert von x^x für x--> 0 (x>0) ?
Ichhabe schon alles ausprobiert ohne Erfog.
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epsilon
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Mai, 2002 - 12:31: |
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Verwende:
x^x = e^(x*ln(x))
x*ln(x) --> 0 (für x--> 0)
Stetigkeit der e-Funktion erlaubt vertauschen von Funktionsanwendung und limes, als lim (e^...) = e^lim(...) = e^0 = 1
epsilon
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Joachim (joachim84)
Neues Mitglied
Benutzername: joachim84
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Mai, 2002 - 21:11: |
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f(0)=0^0=1
strebt x gegen Null so strebt f(x) gegen 1! |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Mai, 2002 - 18:16: |
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Zu dem Thema: 0^0=1
Ich denke nicht, dass man das so formulieren darf. Das ist doch eine Festlegung, oder ?
Richtig wäre:
Limes(bei x->1+)von x^x=1.
Damit die Funktion an der Stelle 0 stetig wird, vereinbart man, dass 0^0:=1
Allerdings, betrachtet man die folgende Abbildung, so gilt:
f(x)=0^x
Für x=0 gilt dann, der rechts-und linkseitige Grenzwert bei x gegen 0 ist 0, mit 0^0=1 ist diese Funktion an der Stelle 0 unstetig.
Jetzt weiss ich aber, dass es z.B. aus diesem Grund problematisch ist, 0^0 zu definieren. Ich bin mir nicht sicher, aber ich glaube, man einigt sich (warum auch immer...) auf 0^0:=1, d.h. f(x)=0^x=0, falls x!=0; 1, falls x=0...
Sollte dies falsch sein, so lasse ich mich gern eines besseren belehren; unser Prof. hat auch eine Problematik in der Def. von 0^0 gesehen und konnte uns auch nicht wirklich weiterhelfen:
Manchmal ist diese Def. besser (0^0=1), manchmal diese (0^0=0)...
Klingt etwas willkürlich...
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
Robert (emperor2002)
Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Mai, 2002 - 18:29: |
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Roxana:
Betrachten wir mal folgendes:
01 = 0
00 = 01 / 01 = ???
Damit ist 00 ein unbestimmter Ausdruck. Es gibt also keinen Wert.
Du willst aber folgenden Grenzwert berechnen:
limx->0 xx
Wir können diese Grenzwertbetrachtung auch anders schreiben. Wir ersetzen dazu x durch 1/n.
limx->0 xx = limn->oo (1/n)(1/n)
1/n ist eine wahnsinnig wintzige positive reele Zahl. Damit ist der Grenzwert 1!
MFG
Robert
Robert Klinzmann
Schüler des EHGs
mailto: Emperor2002@Web.de
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STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Mai, 2002 - 19:48: |
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Hallo Robert,
das habe ich auch geschrieben. DAS IST NUR DER RECHTSSEITIGE GRENZWERT. Dieser MUSS auch bei x^x nicht mit dem Funktionswert von x^x an der Stelle 0 übereinstimmen, es sei den x^x wäre stetig. Dann wäre aber zu zeigen, dass f(0)=0^0=1 ist. Das beißt sich irgendwie...
Den Grenzwert mit der Folge (1/n) anzunähern, reicht nicht. Dies muss für alle Folgen (in R) gelten, die gegen 0 konvergieren (rechtsseitig hier), 1/n ist aber nur eine rationale Folge !!! Das ist nur ein Hilfsmittel und hilft, Sachen zu verstehen...
Natürlich ist dennoch lim bei x->0+ ( Sorry, im obigen Beitrag meinte ich natürlich nicht 1+, sondern 0+) von x^x=1, dies liegt aber an der Stetigkeit der e-Funktion, siehe auch
epsilons
Beitrag !!!
Freundliche Grüße
STEVENERKEL
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STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Mai, 2002 - 20:01: |
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0^0 = 0^1 / 0^1
Naja, als Erklärung vielleicht anzuerkennen, trotzdem sollte man die FALSCHHEIT dieses Ausdrucks beachten:
Du darfst nicht durch 0 teilen, auch nicht die 0. Dann wäre ja nach deiner Regel 0^1=0^2/0^1 ja auch unbestimmt... Diese Rechenregel gilt für alle BASEN ungleich 0 {a^n=a*a^(n-1)<=> a^(n-1)=[a^n]/a] }
So, warum genügt es nicht, die Folge (1/n) zu betrachten ?
Sei g(x)=
1.Fall: 1, falls x aus R\Q
2.Fall: 0, falls x aus Q
Nimmst du nun den Limes bei x gegen 0+ mit der Folge (1/n), so ist dieser 0.
Nimmst du die Folge (sqrt(2)/n), so ist dieser 1 ( da sqrt(2)/n aus R\Q für alle n aus N).
Daraus folgt die Unstetigkeit dieser Funktion, denn der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle 0 existiert nicht !
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
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