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kleinesonne
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. November, 2000 - 09:12: | 
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Brauch mal wieder eure Hilfe....
a)berechne den Durchstosspunkt der Geraden
g:x=(-5/-4/1) + t (4/3/0) durch die Ebene: 2x-3y+z=1
b) bestimme die Parametergleichung für die Ebene E', welche parallel zu E ist und durch den Punkt G(-5/-4/1) geht.Berechne den Abstand d(E,E')
c) wie lang ist die Strecke, die von den Ebenen E und E' aus der Geraden g ausgeschnitten wird?
d) Gib für die Ebene E'', welche die Gerade g und die Gerade h:x=(-5/-4/1) t(0/0/1) enthält, eine Parametergleichung und eine Normalform an.
e) Bestimme die Schnittgerade s und s' der Ebene E''mit E und E'; berechne den Abstand d(s,s') Unter welchem Winkel schneidet E'' die Ebenen E und E'?
f)In welchen Punkten und unter welchem Winkel wird E von den Koordinatenachsen geschnitten?
Wär euch für schnelle Hilfe sehr sehr dankbar, schreib nämlich Lk-Klausur :o((( |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. November, 2000 - 10:32: |
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Hallo kleinesonne,
Hier die ersten 3 Aufgaben.
a)
E: 2x-3y+z=1
g: (x;y;z) = -5;-4;1)+t*(4;3;0)
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Durchstoßpunkt S:
Wir setzen in die Ebenengleichung ein
2(-5+4t)-3(-4+3t)+1=1
t=2
dieses t in g eingesetzt:
S=(3;2;1)
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b)
E' hat die gleichen Normalvektoren wie E
und geht durch G=(-5;-4;1)
E': 2(x+5)-3(y+4)+1(z-1)=0
E': 2x-3y+z=3
=======
E und E' auf Hessesche Normalform bringen, also durch W(14) dividieren,
ergibt Abstand d= 3/W(14)-1/W(14) = W(14)/7
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c)
Durchstoßpunkt von g mit E' = S'
genauso rechnen wie a)
ergibt S'=(-5;-4;1)
Abstand von S nach S':
S-S'= (3+5;2+4;1-1) = (8; 6; 0)
Länge dieses Vektors a=W(8²+6²)= 10
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Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. November, 2000 - 13:56: |
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Hallo kleinesonne,
Es geht weiter mit
d)
g: (x;y;z)=(-5;-4;1)+t*(4;3;0)
h: (x;y;z)=(-5;-4;1)+t*(0;0;1)
=======
Ebene E": (x;y;z)=(-5;4;1)+t*(4;3;0)+s*(0;0;1)
Ein Normalenvektor ergibt sich aus dem vektoriellen Produkt
nE"= (4;3;0) x (0;0;1) = (3;-4;0)
und somit die Gleichung in Normalform:
3(x+5)-4(y+4)+0 = 0
E": 3x-4y=1
===========================
e)
Schnitt von E" mit E:
E": 3x-4y=1
E: 2x-3y+z = 1
================
Aus diesen beiden Simultangleichungen: z ist freie Variable
wir setzen z=t
dann ist x=-1+4t und y=-1+3t
Schnittgerade s = (-1;-1;0)+t*(4;3;1)
============================
Schitt von E" mit E':
E": 3x-4y = 1
E': 2x-3y+z=3
==============
wieder z=t
x=-9+4t
y=-7+3t
Schnittgerade s' = (-9;-7;0)+t*(4;3;1)
=====================================
Abstand s nach s':
oder Abstand Punkt Q=(-1;-1;0) von s'.
Richtungsvektor von s' ist u=(4;3;1)
Es sei P irgendein Punkt auf s'
z.B.: P=(-9;-7;0)
Wir bilden den Vektor: PQ = Q-P = (8;6;0)
Dann ist der gesuchte Abstand die Projektion von PQ auf s'
Abstand d= |PQ x u|/|u|
=======================
Wir berechnen die einzelnen Terme:
PQ x u = (8;6;0) x (4;3;1) =(6;-8;0)
|PQ x u| = W(6²+8²) =10
|u|= W(4²+3²+1²)= W(26)
Abstand: d=10/W(26) = (5/13)*W(26)
=============================
Winkel zwischen E" und E (oder E" und E'):
ist gleich dem Winkel zwischen ihren Normalenvektoren.
n=(2;-3;1)
n"=(3;-4;0)
Winkel: cos(a) = n.n"/(|n||n"|)
n.n"=(3;-4;0).(2;3;1)= 18
|n|=W(2²+3²+1²)=W(14)
|n"|=W(3²+4²+0²)= 5
cos(a= (18/5)/W(14)
a = 15,82°
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kleinesonne
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. November, 2000 - 14:38: |
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vielen vielen dank, werd mir das jetzt mal in ruhe angucken und versuchen zu verstehen...
lieben gruß und nochmal danke |
kleinesonne
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. November, 2000 - 15:13: |
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hmm bei d) das versteh ich irgendwie nicht
wieso ist: nE"= (4;3;0) x (0;0;1) = (3;-4;0) ??? |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. November, 2000 - 19:37: |
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Hallo kleinesonne,
Die Ebene E" wird durch 2 Vektoren aufgespannt, es sind die Richtungsvektoren von g und h.
(4;3;0)
und
(0;0;1)
Diese beiden Vektoren liegen also in der Ebene.
Ein Normalenvektor muss daher auf jeden dieser Vektoren senkrecht stehen.
Einen solchen Vektor findet man durch das vektorielle Produkt:
(4;3;0) x (0;0;1) = (3;-4;0)
Daher ist n" = (3;-4;0) ein Normalenvektor der Ebene E".
(Ich habe ihn mit nE" bezeichnet, weiter unten aber einfacher mit n")
Ist es das was du wissen wolltest oder weißt du nicht, wie man den numerischen Wert eins vektoriellen Produktes errechnet? |
kleinesonne
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. November, 2000 - 19:51: |
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na ja ich kenn die formel für das vektorprodukt, aber die dürfen wir in der klausur nicht benutzen....gibt es an dem punkt auch noch eine andere möglichkeit außer mit der formel das auszurechnen? |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. November, 2000 - 20:26: |
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Hallo kleinesonne,
Es fehlt ja noch der Punkt
f)
E: 2x-3y+z=1
Schnittpunkte mit Koordinatenachsen:
x-Achse: y=z=0, x=½
½; 0; 0)
y-Achse: x=z=0, y=-1/3
(0; -1/3; 0)
z-Achse: x=y=0, z=1
(0; 0; 1)
===================
Winkel mit den Achsen:
Normalenvektor n=(2; -3; 1)
normiert: (2/W(14); -3/W(14); 1/W(14)
Die Komponenten des normierten Vektors sind gleichzeitig seine Richtungskosinusse, d.h. die Kosinusse der mit den Achsen eingeschlossenen Winkel.
Die Ebene E schließt dann die Komplementärwinkel ein.
x-Achse: arccos(2/W(14))= 57,69° Ebene: a=32,31°
y-Achse: arccos(-3/W(14))=143,30° Ebene: ß=53,30°
z-Achse: arccos(1/W(14))= 74,50° Ebene: g=15,50°
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Falls du mit den Richtungskosinussen nicht so vertraut bist, so kannst du auch wie folgt rechnen:
Für die x-Achse:
Richtungsvektor der x-Achse r=(1;0;0)
Normalenvektor n=(2; -3; 1)
Dann ist der Winkel zwischen Ebene und x-Achse:
sin(a)=r.n/|r|.|n|
====================
r.n = (1;0;0).(2;-3;1) = 2
|r|=1
|n| =W(14)
sin(a)= 2/(1*W(14)) -> a = 32,31° wie oben.
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Komische Klausur habt ihr da, bei der man nicht alle Formeln verwenden darf!
Ich werde darüber mal nachdenken. |
kleinesonne
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. November, 2000 - 20:31: |
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ja find das auch komisch, wir haben nur die formel ausgelassen und deswegen dürfen wir sie nicht benutzen. wieso soll mans sich auch einfach machen wenns auch kompliziert geht 
vielen lieben dank dir, bis zu d hab ichs jetzt schon verstanden 
wird dann morgen weiter machen und erstmal schlafen...gute nacht |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. November, 2000 - 20:59: |
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Hallo nochmal,
Zum Punkt d) ohne Vektorprodukt:
Wir kennen die Richtungsvektoren von g und von h:
(4;3;0) und (0;0;1)
Wir suchen einen Vektor n, der auf beiden senkrecht steht.
Das Skalarprodukt muss also =0 sein.
(Dürft ihr das Skalarprodukt benützen?)
Die Komponenten des Normalenvektors seien: n=(n1; n2; n3)
(n1; n2; n3).(4; 3; 1)=0
4*n1+3*n2 = 0
und
(n1; n2; n3).(0; 0; 1) =0
n3=0
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Aus den beiden blauen Gleichungen n1, n2, n3 rechnen:
n1 frei wählbar, sagen wir n1=1
dann ist n2=-4/3
n=(1; -4/3; 0)
oder schöner: n= (3; -4; 0) wie vorher.
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Morgen bin ich erst am Abend wieder present. |
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