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Beitrag |
    
Sandra
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. April, 2002 - 14:30: | 
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Hallo !
Da ich mehrere Tage wegen Krankheit nicht anwesend war,ich aber noch Zensuren brauche,bekam ich heute in Mathe folgende aufgabe zu lösen.Leider habe ich nicht alles verstanden,will aber dennoch die Note nicht in den Sand setzen.
Durch f_t(x)=1/t * e^tx -x ist für jedes [tER+] eine Funktion f_t gegeben. Ihr Schaubild sei K_t .
a) Untersuche f_t auf Extrem-und Wendestellen sowie auf Asymptoten.Zeichne K_1 und K_2 im gleichen Koordinatensystem (LE=1cm).
b) Für welchen Wert von t geht die Tangente an K_t in P_t(1/?) durch den Koordinatenursprung ?
d) Für welchen Wert von t berührt K_t die Gerade mit der Gleichung y=tx ? Gib die Koordinaten des Berührpunktes an.
BITTE HELFT MIR ! Lieben Gruß, Sandra |
Peter (analysist)
Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 37
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. April, 2002 - 16:27: |
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Setz bitte bei dem Funktionsterm notwendige Klammern!
Gruß
Peter |
Sandra
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. April, 2002 - 23:25: |
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hier nochmal der Funktionsterm mit Klammern :
f_t(x)=(1/t) * e^(tx) - x
Gruß,Sandra |
Tyll (tyll)
Mitglied
Benutzername: tyll
Nummer des Beitrags: 59
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. April, 2002 - 12:09: |
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Hi Sandra!
ft(x) = 1/t * etx - x
Zu a)
f't(x) = (1/t * etx)' - (x)' [nach Summenregel]
= 1/t * (etx)' - 1
= 1/t * t*etx - 1 [nach Kettenregel; mit g(x) = ex und f(x) = tx gilt etx = g(f(x)) und somit (etx)' = (g(f(x))' = g'(f(x))*f'(x) = g(f(x))*f'(x) = etx*t]
= etx - 1.
Entsprechend folgt für f''t(x) = (etx - 1)' = t*etx und f'''t(x) = (t*etx)' = t²*etx.
Dann gilt:
etx - 1 = 0 <=> etx = 1 <=> ln(etx) = ln(1) <=> ln(e)*tx = 0 <=> tx = 0 <=> t = 0 oder x=0.
Für x=0 ist f''t(x) = t > 0, also liegt für alle t in P(0;(1/t)) ein Minimum vor.
f''t(x) = 0 <=> t*etx = 0 <=> etx = 0 nicht lösbar, also gibt es keinen Wendepunkt (f't(x) hat also eine konstante linkskrümmung, was sich aus f't(x) > 0 ergibt).
zu b)
allgemeine Tangentengleichung zum Punkt P(p(f(p)):
t(x) = f'(p)*(x-p)+f(p), in unserem Fall also
P(1;ft(1)) = P(1;etx/t - 1) und somit
t(x) = f't(1)*(x-1) + ft(1)
= (et-1)(x-1) + etx/t - 1
= x(et-1) - et +1 + etx/t - 1
= x(et-1) - et + etx/t
Nun gilt t(0)=0 <=> 0*(et-1) - et + etx/t = 0 <=> et = etx/t <=> 1 = 1/t <=> t=1
Damit ist t(x) = x(e1-1) - e1 + e1x/1 = x(e-1)
zu c) weiß ich leider auch nicht |
Peter (analysist)
Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 42
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. April, 2002 - 12:26: |
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thx,
a)f_t(x)=(1/t) * e^(tx) - x
f'_t(x)=(1/t)te^(tx)-1
=e^(tx)-1 (nach Ketten- und Summandenregel)
f''_t(x)=te^(tx)
f'''_t(x)=t^2e^(tx)
Notw. Bedingung für Extremstellen: f'_t(x)=0
e^(tx)-1=0
e^(tx)=1 //ln()
tx=ln(1)
tx=0 // :t
x=0
f''_t(0)=te^0=t >0 nach Vor. also Tiefpunkt bei (0/(1/t))
Wendestellen: Notw. Bed. f''_t(x)=0
te^(tx)=0
keine Wendestellen, da t>0 und e^z>0 für alle z!!!
Der Definitionsbereich ist ganz IR, wenn es also Asymptoten gibt, dann beim Verhalten im Unendlichen:
lim für x-> inf =inf
lim für x-> -inf=inf
Wenn man will kann man den Term (1/t) * e^(tx) als Asymptote für das Verhalten im positiv Unendlichen ansehen, da -x im Vergleich vernachlässigbar wir. Für das Verhalten gegen minus Unendlich stellt -x die Asymptote, da der "e-Summand" gegen Null geht.
b) Erstmal der vollständige Punkt:
P_t(1/(1/t)e^t-1)
Steigung an der Stelle 1:
m=f'_t(1)=e^t-1
y=mx+b
b muss Null sein, damit es eine Ursprungsgerade wird.
Setze y, m, x ein:
(1/t)e^t-1=(e^t-1)*1
(1/t)e^t-1=e^t-1 //+1
(1/t)e^t=e^t //:e^t
1/t=1
t=1
Für t=1 geht die Tangente durch den Ursprung
Tangentengleichung y=(e^t-1)x
d) Berühren bedeutet immer: 1) gleicher Funktionswert 2) gleiche Steigung
1) tx=(1/t)*e^(tx)-x
2) t=e^(tx)-1
2) t+1=e^(tx) // ln()
ln(t+1)=tx //:t
ln(t+1)/t=x
In 1) eingesetzt:
t(ln(t+1)/t)=(1/t)*e^(t(ln(t+1)/t))-ln(t+1)/t
ln(t+1)=(1/t)(t+1)-ln(t+1)/t //+ln(t+1)/t
(1+1/t)ln(t+1)=(1/t)(t+1)
(1+1/t)ln(t+1)=(1+1/t) // : (1+1/t)für t<>-1
ln(t+1)=0 // e^()
t+1=1
t=0 nicht im Defintionsbereich von
Es gibt keine Lösung!!!
Gruß
Peter
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Peter (analysist)
Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 43
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. April, 2002 - 12:27: |
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ACHTUNG! siehe unten!
(Beitrag nachträglich am 30., April. 2002 von analysist editiert) |
Peter (analysist)
Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 44
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. April, 2002 - 12:44: |
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SORRY!
Die letzten 4 Zeilen sind falsch!!!
Bis hierher war's richtig:
(1+1/t)ln(t+1)=(1+1/t) // : (1+1/t)für t<>-1
ln(t+1)=1
t+1=e
t=e-1
Noch'n Beweisbild
Gruß
Peter |
Peter (analysist)
Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 45
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. April, 2002 - 12:45: |
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Nachtrag zur Tangentengleichung in b)
wir hatten ja t=1
also y=(e-1)x
Gruß
Peter
(Beitrag nachträglich am 30., April. 2002 von analysist editiert) |
Sandra
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Mai, 2002 - 19:51: |
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Hallo Peter und Tyll !
Ein GANZ DICKES DANKESCHÖN AN EUCH, ihr habt mir damit echt enorm geholfen, so dass ich es auch verstanden hab !!! Lieben Gruß Sandra ! |
