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Beitrag |
    
Anna
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. April, 2002 - 18:34: | 
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Hallo!
Vielleicht könnt ihr mir ja weiter helfen - ich hab keine Ahnung, wie ich das folgende Integral berechnen soll:
Wurzel(x^2 + 4) in den Grenzen von 0 bis 4
Wie lautet hier die Stammfunktion - bzw. wie bestimmt man diese?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen!
Ciao |
Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. April, 2002 - 21:32: |
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Dummy |
Anna
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. April, 2002 - 21:34: |
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Jetzt weiß ichs aber! |
Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. April, 2002 - 21:35: |
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Hallo Anna,
I = ò Ö(x² + 4) dx
ich lass die Grenzen mal vorläufig weg.
Ganz schön schwer für eine Schulaufgabe!
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Wir substituieren: x = 2*tan(u)
dx = 2/cos²(u) du
Zeichne dir ein rechtwinkeliges Dreieck mit dem Winkel = u, der Ankathete =2 und der Hypotenuse = Ö(x²+4}
(Dies brauchen wir, um allerlei Zusammenhänge ablesen zu können)
Wir setzen ein:
I = ò Ö(4 + 4tan²(u))*2/cos²(u) du = 4ò Ö(1+tan²(u))*1/cos²(u) du
(wir erinnern uns der Formel: 1+tan²(a) = 1/cos(a))
I = 4ò 1/cos³(u) du
===================
Dieses Integral ergibt: (bei Bedarf zeige ich es ausführlicher)
I = 2(tan(u)/cos(u) + ln|1/cos(u) + tan(u)| + C
===================================
Jetz zurücksubstituieren:
aus unserem Dreieck ersehen wir:
tan(u)/cos(u) = xÖ(x²+4)
und
1/cos(u) = Ö(x²+4)/2
I = 2[xÖ(x²+4)/4 + ln|Ö(x²+4)/2 + x/2| + C
I = ½*xÖ(x²+4) + 2ln(x+Ö(x²+4) - 2ln(2) + C
den Term: -2ln(2) nehmen wir in die Konstante C:
I = ½*xÖ(x²+4) + 2ln(x+Ö(x²+4)) + C
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Ich überlasse es dir, die Grenzen einzusetzen.
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Anna
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. April, 2002 - 22:22: |
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Vielen, vielen Dank!!!!
Diese Aufgabe war ja ein echter Hammer!
Gut, dass es so hilfsbereite Leute wie dich hier gibt ;)
Tschüssle! |
Xell
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. April, 2002 - 23:46: |
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...und der Dummy verfehlte seine Wirkung dadurch, dass
er nicht als solcher erkannt wurde... ;-) |
naomi (naomi55421)
Neues Mitglied
Benutzername: naomi55421
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. April, 2002 - 00:20: |
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hi ,ich wollte dir nur kurz die antwort geben da du schon ja den weg hast ,also du kriegst dann :
11.831543 units2 |
Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. April, 2002 - 09:12: |
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Hallo,
ja mein obiges Dummy hat seine Wirkung leider verfehlt.
Ich setze solche Dummies, um dem grauen Hintergrund zu entgehen.
Vielleicht sollte ich es aber lieber
Grauzonenvermeidungsblindbeitrag nennen.
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Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. April, 2002 - 09:15: |
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Hallo,
ich zeige noch das oben benutzte Integral:
I = ò 1/cos³(x) dx
==============0
Partielle Integration mit
u = 1/cos(x)
du = sin(x)/cos²(x) dx = tan(x)/cos(x)
dv = 1/cos²(x) dx
v = tan(x)
wir setzen in die Formel: I = uv-ò v du ein
I = tan(x)/cos(x) - ò tan²(x)/cos(x) dx
I = tan(x)/cos(x) - ò [1/cos²(x) - 1] / cos(x) dx
I = tan(x)/cos(x) - ò 1/cos³(x) dx + ò 1/cos(x) dx
ò 1/cos(x) dx = ln|1/cos(x) + tan(x)| + C
I = tan(x)/cos8x) + ò 1/cos³(x) dx + ln|1/cos(x) + tan(x)| + C
wir finden unser Ausgangsintegral wieder auf der rechtenSeite
also:
2*I = tan(x)/cos(x) + ln|1/cos(x) + tan(x)| + C
I = ½*tan(x)/cos(x) + ½*ln|1/cos(x) + tan(x)| + C
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Noch eine Anmerkung:
in meinem ersten Beitrag, ist das zu zeichnende Hilfsdreieck nicht gut beschrieben.
Es ist:
Winkel = u
Ankathete = 2
Gegenkathete = x
Hypotenuse = Ö(x²+4}
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musa
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Juni, 2002 - 20:58: |
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Wenn ihr in die Formelsammlung sehen würdet, so könntet ihr das Integral dieser Funktion als Standardfunktion (Aufleitung/Stammfunktion) finden. |
