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Beitrag |
    
Sabine
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. April, 2002 - 09:00: | 
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Hallo,
Ich benötige eine Stammfunktion von
f(x) = 1 / [x^4 *(1-x^2) ^(3/2)].
Kann mir jemand behilflich sein ?
Besten Dank im voraus.
MfG
Sabine
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Peter (analysist)
Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 29
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. April, 2002 - 09:37: |
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F(x)=(8x^4-4x^2-1)/(3x^3SQRT(1-x^2))
Probier's mal mit partieller Integration, müsste gehen, hab jetzt leider keine Zeit mehr.
f(x) = 1 / [x^4 *(1-x^2) (1-x^2)^(1/2)]
=1/[(x^4-x^6)SQRT(1-x^2)^(1/2)] könnte hilfreich sein.
Gruß
Peter |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. April, 2002 - 10:46: |
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Hi Sabine,
Mit der Substitution x = sin z , dx = cos z dz
entsteht aus dem vorliegenden Integral
F(x) = int [ dx / [x ^ 4 *(1-x^2) ^ (3/2)]
das unbestimmte Integral
G(z) = int [ cos z * dz / {(sin z) ^ 4 * ( cos z) ^3 }] =
int [ dz / {(sin z) ^ 4 * ( cos z) ^2 }
Wir substituieren nochmals, und zwar so:
tan z = u , ( 1 + u ^ 2 ) * dz = du, damit
erhalten wir für
(cos z) ^2 = 1 / ( 1 + (tan z)^2 ) = 1 / (1 + u^2)
(sin z) ^2 = (tan z)^2* (cos z)^2 = u^2 / (1 + u^2)
Wir erhalten das neue Integral
H(u) = int [(1 + u ^ 2 ) ^ 2 / u ^ 4 * du ]
Dieses Integral lässt sich in drei Teilintegrale zerlegen :
H(u) = int(1/u^43du] + int[ 2/ u^2 * du ] + int [du ]
= -1 / (3 u ^ 3 ) – 2 / u + u + C
Nun machen wir die Substitutionen rückgängig :
G(z) = -1 / {3 (tan z) ^ 3 } – 2 / tan z + tan z + C
= - 1 /3 * (cos z)^3 / (sin z ^3 - 2* cos z / sin z
+ sin z / cos z + C = A(z) / B(z) + C mit
A / B mit
A(z) = - (cos z) ^4 – 6*(cos x)^2 * (sin x)^2 + 3*(sinz)^4
B(z) = 3 * (sin z) ^3 * cos z ,
ersetzt man darin sin z durch x und
cos z durch wurzel(1-x^2) ,so kommt als Schlussresultat
schliesslich:
F(x) = [8 x^4 – 4 x^2 – 1] / [ 3 * x^3 * wurzel (1-x^2)] + C
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