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Parallelogramm-aufgabe

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Lineare Un-/Abhängigkeit » Parallelogramm-aufgabe « Zurück Vor »

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Mighty
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. April, 2002 - 16:37:   Beitrag drucken

Ein Parallelogramm sei definiert als viereck, dessen gegenüberliegende seiten durch zwei paare kollinearer Vektoren dargestellt werden können.
a und b sein nicht kollinear.
a) Zeige vektoriell, das die gegenüberliegenden sieten jeweils gleichlang sind!
Tip: Zeige mit Hilfe des Begriffs der linearen abhängigkeit das r=s=1 sein muß!
b) Zeige entsprechend, das sich die diagonalen eins Parall. in ihrme schnittpunkt halbieren
Tip:Betrachte die geschlossene Vektorkette zum Dreieck ABS!
c) Zeige netsprechend, dass sich die diagonale DB und die Transversale AM gegenseitig im verhältis 2:1 teilen( M ist der Mittelpunkt der Strecke BC)

Ich wiederhole grad um komm net drauf wie das ging... wäre dankbar wenn mir das wär lösen könnte.
Danke
MArc
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Peter (analysist)
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Mitglied
Benutzername: analysist

Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. April, 2002 - 17:04:   Beitrag drucken

Hallo Mighty,
a)
a und b sind nicht kollinear, sie würden sonst kein Parallelogramm aufspannen. Gegenüber von a liegt eine Seite, die mit r*a bezeichnet werden kann (kollinear zu a), gegenüber b liegt eine Seite, die mit s*b bezeichnet werden kann.

Mach einfach einen geschlossenen Vektorzug über das ganze Parallelogramm:
a+b+r*a+s*b=0 (Nullvektor)
(1+r)*a+(1+s)*b=0
Jetzt kommt das Totschlagargument:
Da a und b linear unabhängig (nicht kollinear) sind, lassen sie sich nur trivial zum Nullvektor linear kombinieren => die Klammern müssen also gleich Null sein
Daraus ergibt sich
r=-1
s=-1,
d.h. die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang, nur entgegengesetzt orientiert.

b)Geht vom Prinzip her genauso:
Wir drücken zunächst die Diagonalen e und f durch die Seitenvektoren aus:
e=a+b f=-a+b
Geschlossener Vektorzug vom Eckpunkt A über B, ein auf der einen Diagonalen bis S, ein STück auf der anderen Diagonalen zurück zu A.
a + r*e +s*f =0 (NullVektor)
a + r*(a+b)+s*(-a+b)=0
(1+r-s)*a+(r+s)*b=0
Totschlagargument =>
1+r-s=0
r+s=0

r=-s
1-2s=0

s=1/2
r=-1/2,

d.h. der Anteil, den wir von jeder Diagonalen zurücklegen ist jeweils die Hälfte => die Diagonalen halbieren sich.

c)DB war unsere Diagonale f in b) also f=-a+b
Die Transversale ist t=a+(1/2)b
Vektorzug über den Schnittpunkt
a+r*(-a+b)+s*(a+(1/2)b)=0 (Nullvektor)
(1-r+s)*a+(r+(1/2)s)b=0
Totschlagargument =>
1-r+s=0
r+(1/2)s=0

r=-(1/2)s
1+(1/2s)+s=0

s=-2/3
r=1/3, d.h.

wir gehen 1/3 der Diagonalen und 2/3 der Transversalen, beide werdem also im Verhältnis 1/3 zu 2/3 = 1:2 geteilt.

Gruß

Peter










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Mighty
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. April, 2002 - 17:43:   Beitrag drucken

supi habs direkt verstanden :-)
danke Marc
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mighty
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. April, 2002 - 20:01:   Beitrag drucken

hmm hab noch ne aufgabe die ich gerechnet habe... nur mal zur kontrolle ob ich das nu wieder drin hab.
In einem parallelogramm ABCD teile der punkt T die seit BC im verhältnis 1:2 Untersuche in welchem verhältnis AT die diagonale DB teilt!
wie ist das ergebnis??
ich hab s= -3/4 und r =1/2, ist das richtig?
danke marc
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Peter (analysist)
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Mitglied
Benutzername: analysist

Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. April, 2002 - 20:37:   Beitrag drucken

hi,

ich rechne mal schnell nach:

DB war -a+b
AT ist dann a+(1/3)b
Vektorzug von B auf BC über AT bis S und auf DB zurück nach B
(1/3)b+r(a+(1/3)b)+s(-a+b)=0
(1/3+(1/3)r+s)b+(r-s)a=0
Totschlagargument =>
r=s
1/3+4/3s=0

s=-3/4
r=1/2

Du hast's wieder drauf :-)
Teilungsverhältnis 3:1 sollte man noch angeben!

Gruß

Peter

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Mighty
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 26. April, 2002 - 11:12:   Beitrag drucken

ok super danke :-)
MArc
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Mighty
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 26. April, 2002 - 11:55:   Beitrag drucken

hmm noch ein frage wie komm ich immer an das teilungs verhältnis??
also woher weiss ich welche zahl ich nehme muss also s oder r? denn hier muss man ja die 3/4 nehemn....versteh ich net so ganz warum.
danke marc
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Peter (analysist)
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Mitglied
Benutzername: analysist

Nummer des Beitrags: 30
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 26. April, 2002 - 15:34:   Beitrag drucken

Hallo, r war ja der Anteil, den wir von AT gegangen sind, s der Anteil von DB.

Gefragt war, wie DB geteilt wird.
also nehmen wir s: 3/4 sind wir gegangen, der rest ist 1/4 => Verhältnis 3:1

Wäre gefragt, wie AT geteilt wird, wäre die ANtwort 1/2 zu 1/2, Teilungsverhältnis 1:1 (Strecke wird halbiert)

Gruß

Peter
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Mighty
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 26. April, 2002 - 15:38:   Beitrag drucken

ok danke aber was ist dann mit dem dreieck dann hab ich mich da wohl verrechnet mal überprüfen...

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