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Mighty
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. April, 2002 - 17:12: | 
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folgende Integral aufgabe
Berechnen sie die folgenden un. Int.!
Integral von 0 bis 8 [x^(-2/3)]dx
Integral von -1 bis 0 [x^(-2/3)]dx
ich weiss da absolut net wie des gehen soll
danke Marc |
Cooksen (cooksen)
Mitglied
Benutzername: cooksen
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. April, 2002 - 18:17: |
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Hallo Marc!
Wenn Du Dir den Graphen von x^(-2/3) divergiert er gegen Unendlich für x --> 0. Dass man diesen ins Unendliche reichenden Flächen trotzdem einen sinnvollen, endlichen Flächeninhalt zuordnen kann bezeichnet man als uneigentliches Integral.
Stammfunktion:
F(x) = ò [x^(-2/3)] dx = 3*x^(1/3)
ò0 8 [x^(-2/3)] dx = lim(x->0) [F(8) - F(x)]
= F(8) - F(0) = 3*2 - 0 = 6
Entsprechend:
ò-1 0 [x^(-2/3)] dx = F(0) - F(-1) = 3
Gruß Cooksen |
KleinMaxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. April, 2002 - 21:42: |
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Hallo Cooksen,
F(-1)
wieviel ist denn 3*(-1)^(1/3) ?
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Cooksen (cooksen)
Mitglied
Benutzername: cooksen
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. April, 2002 - 00:29: |
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Hi KleinMaxi,
Weil (-1)*(-1)*(-1) = -1 ist, ist die 3. Wurzel aus -1, also (-1)^(1/3) = -1.
=> F(-1) = 3*(-1)^(1/3) = 3*(-1) = -3
Gruß Cooksen |
KleinMaxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. April, 2002 - 07:33: |
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Hallo Cooksen,
die dritte Wurzel aus negativen Zahlen ist nicht definiert.
Das zweite Integral existiert nicht, weil der Integrand für negative x-Werte nicht existiert! |
Thorben
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. April, 2002 - 11:45: |
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Hi KleinMaxi
ich habe eine Frage , nicht zur Existenz des Integrals, sondern zur dritten Wurzel aus -1:
Wenn man sich die 3. Wurzel aus -1 wegen
(-1)*(-1)*(-1) = -1 so definiert, dass
³V(-1) = -1 ist, gibt es da einen Widerspruch zu irgendeiner andern Definition?
Gruß Thorben |
Peter (analysist)
Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. April, 2002 - 16:02: |
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Hallo ihr,
gegen die Defintion der dritten (oder aller ungeraden) Wurzeln auch für negative Basen (Bzw. Radikanden) spricht prinzipiell nichts. Allerdings werden dadurch die Potenzgesetze in ihrer allgemeinen Form ungültig.
Beispiel:
-1=(-1)^(1/3)=(-1)^(2/6)=((-1)^2)^(1/6)=1^(1/6)=1 !!!
Um alle Potentgesetze und -regeln nicht nur für rationale sondern auch für reelle Exponenenten gültig zu erhalten, schränkt man gewöhnlich die Basis auf die positiven (bzw. nichtnegativen) Zahlen ein. Deswegen liegt KleinMaxi hier im Sinne allgemeiner Gepflogenheiten richtig.
Gruß
Peter |
Thorben
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. April, 2002 - 23:30: |
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Danke, könnte es dann vielleicht so gehen:
Def.:
³Ö(a) = - ³Ö(-a) falls a<0 ist.
Dann müsste das rote ersetzt werden:
-1=(-1)^(1/3)=(-1)^(2/6)=((-1)^2)^(1/6)=1^(1/6)=1
-1=-(1)^(1/3)=-(1)^(2/6)=-((1)^2)^(1/6)=-1^(1/6)=-1
und es stimmt wieder
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Peter (analysist)
Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. April, 2002 - 08:55: |
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Hi,
es lässt sich so sinnvoll definieren. Allerdings hast du damit die dritte Wurzel neu definiert:
3Wurzel:=sign(x)*3WurzelABS(x)
oder etwas sauberer definiert: 3Wurzel:=sign(x)*ABS(x)^(1/3)
sign(x) Vorzeichenfunktion
ABS(x) Absolutbetrag von x
Das Problem dieser Definition ist einfach, dass
du die Wurzelfunktion mit zwei unterschiedlichen Bedeutungen belegst.
Gruß
Peter
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