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Oswald
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. April, 2002 - 08:43: | 
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Hallo,
meine zu lösende Aufgabe lautet:
Der laufende Punkt P der Ellipse
b^2 * x^2 + a^2 * y^2 = a^2 * b^2
wird senkrecht auf die y-Achse projiziert ;
der Fusspunkt des Lotes auf der y-Achse sei G.
g ist die Verbindungsgerade der Punkte G
und S1 (a/0);
h ist die Verbindungsgerade der Punkte P
und S2(-a/0).
Man ermittle eine Gleichung der Ortskurve
des Schnittpunktes S der Geraden g und h.
Wie kann eine solche Aufgabe gelöst werden ?
Ich bin für jede Hilfe dankbar !
MfG
Oswald (osi)
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. April, 2002 - 10:32: |
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Hi Oswald,
Die Koordinaten des laufenden Punktes P seien mit
x = xo, y = yo bezeichnet.
Der Fusspunkt G des Lotes von P aus auf die y-Achse ist
G( 0 / yo ) .
Um die Gleichungen der beiden Geraden g und h
zu ermitteln, setzen wir ihre Punkt -Richtungsformen an.
Dabei ist als Steigung m einzusetzen:
m1 = - yo / a für g und
m2 = yo / ( xo + a) für h ;
somit lauten die Geradengleichungen :
g: y = - yo / a * ( x – a )....................................................(I)
h : y = yo / ( xo + a ) * ( x + a ) .......................................(II)
Diese Gleichungen gelten simultan ;
dann sind x und y die Koordinaten des Schnittpunktes
S(x/y) von g und h.
Wir lösen das lineare Gleichungssystem (I),(II) nach
xo und yo auf ; nach einer einfachen Rechnung kommt:
xo = 2a x / ( a – x ) ........................................................(III)
yo = a y / (a – x ).............................................................(IV)
Da P(xo / yo) auf der gegebenen Ellipse liegt, gilt die
Relation
b^2 * xo^2 + a^2 * yo^2 = a^2 * b^2 …………………(V)
Wir setzen (III) und (IV) in (V) ein; Resultat nach gehörigen
Vereinfachungen:
3 b^2 * x^2 + a^2 * y^2 + 2 b^2 a * x = a^2 * b^2…..(VI)
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Dies ist die gesuchte Gleichung der Ortskurve
von S(x/y)
Die Gleichung stellt eine parallel verschobene
Ellipse E* dar.
Mittelpunkt M von E*: xM = -a / 3 , yM = 0
Halbachsen a* = 2 a / 3 , b* = 2 b / wurzel(3)
Letzteres wird klar, wenn wir die Ellipse E*
mit der x-Achse schneiden;
es entseht die quadratische Gleichung in x
3 x ^ 2 + 2 a x – a ^ 2 = 0 mit den Lösungen
x1 = a / 3 und x2 = - a.
Schnitt mit der Parallelen x = -a / 3 zur y-Achse
führt auf
3 a^2* y^2 = 4 a^2* b^2 mit den Lösungen
y1 = 2 b / wurzel(3) , y2 = - 2 b / wurzel(3)
Eine interessante Aufgabe !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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