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Willow (willow2001)
Mitglied
Benutzername: willow2001
Nummer des Beitrags: 31
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. April, 2002 - 17:20: | 
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1. Wie groß ist der Umfang eines regelmäßigen Achtecks, das einem Kreis mit dem Radius 5,2 cm einbeschrieben ist?
2. Welcher Breitenkreis hat 1/4 der Äquatorlänge?
3. Die Mittelpunkte zweier Kreise mit den Radien 6,1cm und 3,4cm haben einen Abstand von 7,2cm. Wie lang ist die gemeinsame Sehne?
4. Ein PArallelogramm mit den Seiten 7cm und 5cm hat die Diagonale von der Länge 11cm. Wie groß ist der Winkel zwischen zwei Seiten?
5. Wie hoch muß der Sockel eines 3,50m hohen Denkmals sein, wenn es einem Betrachter mit der Augenhöhe 1,65m in der Entfernung von 8m unter einem Winkel von 30° erscheinen soll? |
Konno (grafzahl22)
Neues Mitglied
Benutzername: grafzahl22
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. April, 2002 - 16:17: |
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1. Am Besten ist es, wenn man sich hier erst
einmal eine Zeichnung macht,
um sich das Ganze optisch zu verdeutlichen.
Man sollte hierbei alle 8 Eckpunkte des regelmäßigen Achtecks
mit dem Mittelpunkt seines Umkreises,
in das es einbeschrieben ist, verbinden.
Dabei entsteht sozusagen ein Rad mit Speichen.
Die Speichen dieses Rades sind gleichzeitig
Radien des Umkreises, also sind sie 5,2 cm lang.
Jetzt betrachtet man ein Dreieck
zwischen zwei benachbarten Speichen
sowie der Kante des Achtecks,
die diese beiden Speichen miteinander verbindet. (Die Länge dieser Kante ergibt mit 8 multipliziert
die gesuchte Größe).
Dieses Dreieck ist sogar gleichschenklig.
Die Kante soll nun die Bezeichnung x tragen,
der am Kreismittelpunkt liegende Winkel des Dreiecks heiße alpha und die beiden anderen
gleich großen Winkel heißen beta.
(alpha + 2*beta = 180 Grad,
alpha = 360 Grad / 8 = 45 Grad).
Wie man wissen sollte, gilt für jedes beliebige Dreieck der sogenannte Sinus-Satz.
Also gilt folgendes :
x / sin(alpha) = (5,2 cm) / sin(beta)
bzw.
x = (5,2 cm)*sin(alpha) / sin(beta)
= (5,2 cm)*sin(45 Grad) / sin(67,5 Grad)
= 3,98 cm
8*x = 8*3,98 cm
= 31,84 cm
Die Lösung lautet also : 31,84 cm
2. Hier braucht man wieder den Sinus-Satz.
Zunächst macht man sich wieder eine Zeichnung.
Dabei stellt man die Erde durch einen Kreis dar, der Äquator der Erde wird durch den
waagerechten Durchmesser des Kreises dargestellt.
Jetzt zeichnet man noch den Null-Meridian (Senkrechter Durchmesser) ein.
Dann zeichnet man noch in einem der nun entstandenen Viertel einen weiteren Radius ein.
Dieser Radius trifft den Kreis
in einem bestimmten Punkt (s. u.).
Jetzt zeichnet man noch eine Verbindunglinie zwischen diesem Punkt und dem Äquator,
so daß diese Verbindunglinie senkrecht auf dem Äquator steht (parallel zum Null-Meridian).
Diese Verbindungslinie habe die Länge x.
Außerdem ist dadurch nun ein Dreieck entstanden.
Die eine Seite ist der Radius, die zweite Seite ist die Verbindungslinie und die dritte Seite
soll (1/4)*r (r = Radius) sein (s. o.).
Das Dreieck ist rechtwinklig
(die Verbindungslinie steht senkrecht auf dem Äquator), also gilt der Satz des Pythagoras
(a*a + b*b = c*c).
Es gilt also :
x*x + (r/4)*(r/4) = r*r ===>
x*x = r*r - (r/4)*(r/4)
= r*r - (1/16)*r*r
= (15/16)*r*r ===>
x = (1/4)*Quadratwurzel(15)*r
Wegen des Sinus-Satzes gilt :
sin(alpha) / x = sin(90 Grad) / r
bzw.
sin(alpha) = sin(90 Grad)*x / r
bzw. wegen sin(90 Grad) = 1 gilt
sin(alpha) = x / r
Dabei ist alpha der gesuchte Winkel
bzw. Breitengrad.
Das Ganze einfach mit Hilfe von Shift(sin) in den Taschenrechner eingeben und schon bekommt man
alpha = 75,52 Grad (Nördl. bzw. Südl. Breite) bzw.
alpha = 75 Grad, 31 Minuten und 20,96 Sekunden (Nördlicher bzw. Südlicher Breite).
3. ?
Hier weiß ich momentan nicht weiter.
Mein Ansatz wäre folgender :
Zunächst macht man sich wieder eine Zeichnung.
Man bildet ein Viereck aus folgenden vier Punkten:
Die beiden Mittelpunkte der beiden Kreise sowie die beiden Schnittpunkte der beiden Kreise miteinander. Wenn man sich dieses Viereck
genau ansieht, stellt man fest,
daß es sich hierbei um einen Drachen handelt.
Die Seiten des Drachen werden nämlich durch
die Radien der beiden Kreise gebildet.
Diesen Drachen kann man durch die lange Diagonale noch in zwei Dreiecke unterteilen.
Dann bräuchte mann "nur" noch
die Höhe dieser beiden gleichgroßen
(Spiegelung an der großen Diagonalen)
Dreiecke zu addieren bzw. zweimal die Höhe
eines der beiden Dreiecke zu nehmen und
schon hätte man die Länge der kurzen Diagonalen des Drachen, die gleichzeitig die gesuchte gemeinsame Sehne der beiden Kreise bildet.
Die Höhe hc auf c ist :
hc = a*sin(beta)
= b*sin(alpha)
(für ein allgemeines Dreieck).
Leider sind die entsprechenden Winkel unbekannt.
Hier fällt mir leider nicht mehr zu ein, Sorry !
4. ?
Ähnliches Problem,
hier weiß ich momentan auch nicht weiter.
Für das Parallelogramm gilt :
(d1)*(d1) + (d2)*(d2) = 2*(a*a + b*b)
wobei d1 und d2 die beiden Diagonalen sind und a und b die beiden verschiedenen Seitenlängen.
Also gilt :
(11 cm)*(11 cm) + (d2)*(d2) =
2*((5 cm)*(5 cm) + (7 cm)*(7 cm)).
Daraus folgt :
(d2)*(d2) = 2*((5 cm)*(5 cm) + (7 cm)*(7 cm))
- (11 cm)*(11 cm)
= 27 cm*cm
Also gilt :
d2 = Quadratwurzel(27 cm*cm)
= 5,2 cm
Leider sind hier alle Winkel unbekannt,
so daß der Sinus-Satz einem hier
auch nicht weiterhilft.
Hier fällt mir leider nicht mehr zu ein, Sorry !
5. Hier braucht man wieder den Sinus-Satz.
Zunächst macht man sich wieder eine Zeichnung.
Der Sockel habe die Höhe x.
Die Höhe der Statue (3,50 m) plus x
minus die Augenhöhe des Betrachters (1,65 m)
sei y.
Es gelte also :
y = x + 3,5 m - 1,65 m
= x + 1,85 m
Nun zeichnet man ein Dreieck in die Zeichnung ein.
Das Dreieck besteht aus folgenden drei Punkten :
Der erste Punkt ist das Auge des Betrachters,
der zweite Punkt ist am Denkmal
in Augenhöhe des Betrachters (1,65 m) und
der dritte Punkt ist die Spitze des Denkmals.
Die Winkel sind 30, 60 und 90 Grad groß.
Der Winkel beim Betrachter muß laut Aufgabenstellung 30 Grad groß sein.
Der Winkel am Denkmal in Augenhöhe des Betrachters (16,5 m) soll natürlich 90 Grad sein.
Also bleibt für den Letzten der drei Winkel nur noch 180 Grad - 90 Grad - 30 Grad = 60 Grad übrig.
Mit Hilfe des Sinus-Satzes erkennt man nun,
daß folgendes gelten muß :
y / sin(30 Grad) = (8 m) / sin(60 Grad)
bzw.
y = (8 m)*sin(30 Grad) / sin(60 Grad)
Außerdem gilt folgendes :
sin(30 Grad) = 1/2
sin(60 Grad) = (1/2)*Quadratwurzel(3)
Also folgt daraus :
y = (8 m)*(1/2) / ((1/2)*(Quadratwurzel(3))
= (8 m) / Quadratwurzel(3)
= 4,6188 m
Also ist das ganze Denkmal (Denkmal + Sockel)
4,62 m + 1,65 m = 6,27 m groß.
Daher ist der Sockel (ganzes Denkmal - Denkmal)
6,27 m - 3,50 m = 2,77 m hoch.
Die Antwort lautet also :
Der Sockel muß 2,77 m hoch sein,
damit die in der Aufgabenstellung
genannten Bedingungen erfüllt werden.
Schlußbemerkungen :
Leider konnte ich keine Lösung
für die Aufgaben 3 und 4 präsentieren.
Falls Lösungen dazu bekannt werden sollten,
wäre ich sehr daran interessiert !
In diesem Fall wäre ich daher für eine entsprechende E-Mail an konnod@gmx.de dankbar.
Vielen Dank !
Gruß, Konno (also known as GrafZahl22)
} |
Willow (willow2001)
Mitglied
Benutzername: willow2001
Nummer des Beitrags: 36
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. April, 2002 - 16:35: |
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Hallo Konno,
die restlichen Lösungen findest Du unter: Klasse 8-10, Geometrie, Sonstiges, Beitrag Help! von Hope.
Bist Du vielleicht auch Fernstudent bei ILS?
Gruß
Willow |
Konno (grafzahl22)
Neues Mitglied
Benutzername: grafzahl22
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. April, 2002 - 17:19: |
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Hallo Willow,
Nein, ich studiere nicht als Fernstudent bei ILS,
ich bin nur ein normaler Mathematik-Student
an der Universität in Hamburg.
Gruß, Konno
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Lalaland
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2014 - 20:44: |
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Hallo ich bräuchte Hilfe  und zwar geht es um ein Dreieck. Gegeben sind alfa: 90 Grad, b: 9 cm und
der Flächeinhalt: 4,5 cm2. Ich muss den Umfang herausfinden kann mir da jemand helfen? |
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