| Autor |
Beitrag |
    
real binchen
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 17:38: | 
|
die parabel(graph der funktion mit der gleichung y^2=2x) rotiert um die x-achse. berechnen sie die mantelfläche des entstehenden paraboloids über dem interval[0;2].
bitte schreibt mir den weg auch auf! die lösung hab ich(2/3pi*(5*5^(1/2)-1)) |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. November, 2000 - 16:51: |
|
Hi real binchen,
Mit neiner Methode zur Lösung Deiner Aufgabe,
die ich Dir später vorführen werde,
komme ich auf dasselbe Resultat für die Fläche F,
das Du angegeben hast.
Ein entsprechender numerische Wert für F ist
angenähert 23.146 Flächeneinheiten.
Wir wollen durch eine Plausibilitätsbetrachtung
diesem Wert etwas näher kommen
Das Paraboloid entsteht durch Rotation einer Parabel
um deren Achse ; der Parameter der Parabel ist p = 1 .
Stellt man die Achse senkrecht (das werden wir tun ,
indem wir die z-Achse als Rotationsachse verwenden) ,
so ist H = 2 die Höhe des Paraboloides und r = 2 der Radius
der kreisförmigen Deckfläche.
Nun gibt es zwei Referenzflächen F1 und F2 ,
zwischen denen F liegt.
1. F1 sei die Mantelfläche des eigeschriebenen
Rotationskegels, Spitze im Scheitelpunkt des Paraboloides ,
Kegelradius r = 2 , Kegelhöhe H = 2
Daraus Mantelfläche F1 = Pi* r * wurzel (r^2+H^2) =
Pi*4*wurzel(2) ~ 17.77 (!)
2: F2 : Fläche einer Halbkugel, Radius r = 2
Die Kugelfläche geht durch den Scheitel und
hat mit dem Paraboloid die Deckfläche gemeinsam;
F2 = 8*Pi ~ 25.17
3. Es gilt: F1 < F < F2
Wir bilden noch das arithmetische Mittel
F* = 1/2* (F1+F2) ~ 21.45
Herleitung der Formel folgt später.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. November, 2000 - 20:33: |
|
Hi realbinchen,
Zur Herleitung der Mantelfläche F benützen wir den Satz:
Der zwischen x = a und x = b liegende Bogen der Kurve
y = f(x) erzeugt bei der Rotation um die x-Achse einen
Rotationskörper, dessen Mantelfläche F so berechnet
werden kann:
F = 2 Pi * int [y * wurzel (1 + y ' ^2 )*dx]
Das Integral ist ein bestimmtes Integral mit der
unteren Grenze a und der oberen Grenze b
obere Grenze b.
Für die vorgelegte Aufgabe gilt :
y = wurzel(2 x) , y ' = 1 / wurzel(2x)
a = 0 , b = 2;
somit F = 2 Pi * int [wurzel(2 x)*wurzel ( 1 + 1 / (2x) )* dx ]
in den genannten Grenzen
also:
F = 2*Pi* int [wurzel(2 x + 1) * dx ]
Eine Stammfunktion lautet: 1 / 3 * (2x + 1 ) ^ (3 / 2),
werden die Grenzen eingesetzt, so ergibt sich:
F = 2* Pi /3 * [5 ^ ( 3 / 2) -1],was mit den Angaben von früher
übereinstimmt.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
real binchen
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. November, 2000 - 15:49: |
|
dankeschön! das ergebnis hab ich jetzt auch! kannst du mir auch bei einer weiteren helfen?
1.die Asteroide(sternkurve y=(a^(2/3)-x^(2/3))^(3/2) )rotiert um die x-achse. berechnen sie die oberfläche dieses rotationskörpers! [a;-a]
Lösung:12/5*pi*a^2
2aufgabe:
die kettenlinie(graph der funktion mit der gleichung y=1/2*(e^x+e^-x) erzeugt bei rotation um die x-achse einen körper. wie groß is die mantelfläche über dem intervall[1;-1]?
lösung:pi/2*(e^2*4-e-^2) |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. November, 2000 - 21:45: |
|
Hi real binchen,
Als erste Aufgabe aus Deiner Serie berechne ich
die Oberfläche F des Körpers, welcher durch Rotation
einer Astroide um die x-Achse entsteht.
Ich übernehme die Daten Deiner Astroide, schreibe die
Gleichung aber in Parameterdarstellung um :
x = a * (cos t) ^ 3 , y = a * (sin t ) ^ 3......................(1)
Der Parameter t läuft dabei von 0 bis 2 * Pi
Dank der symmetrischen Lage der Kurve genügt es,
nur den im ersten Quadranten liegenden Kurvenbogen
zu berücksichtigen ( t läuft dabei von 0 bis Pi / 2 ) und
das Teilresultat am Schluss mit zwei zu multiplizieren
Grundlage ist die Oberflächenformel mit dem
bestimmten Integral
2*Pi*int [y* ds] , genommen in den einschlägigen Grenzen
ds ist das Bogenelement ( Differential der Bogenlänge)
Wir erhaltender der Reihe nach:
Für die Differentiale dx und dy gilt nach (1)
dx = [-3a * (cos t)^2 * sin t] * dt
dy = [3 a * (sin t )^2 * cos t] * dt
damit erhalten wir:
(ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 = [9*a^2*(sin t)^2 * ( cos t) ^2]*(dt)^2
und
ds = 3a * sin t * cos t * dt ,
y * ds = 3 a^2 *(sin t) ^ 4 * cos t * dt
Die Vorbereitungen sind zu Ende und wir schreiten zur
Integration:
F/2 = 6 * a^2 * Pi * int [ (sin t)^4 * cost * dt ] ,
untere Grenze 0 , obere Grenze Pi / 2.
Zur Berechnung des Integrals hilft die Substitution
sin t = z , cos t * dt = dz
Das bestimmte Integral in z lautet int [z^4 * dz ]
Grenzen 0 bis 1 , Wert 1/5.
Wir erhalten schliesslich
F = 12* a^2 * Pi / 5--- wie erwartet !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Pther (Pther)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. November, 2000 - 22:46: |
|
Nadine, mach deine Hausaufgaben mal alleine! Das bringt gute Zensuren! Siehe mich!!!Oder bist du doch zu naiv für Mathe? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. November, 2000 - 12:28: |
|
Hi real bichen,
Zu Deiner (hoffentlich !) letzten Aufgabe dieser Art :
die gegebene Funktion ist der cosinus hyperbolicus ,
d.h. y = cosh x ; der Graph ist eine Kettenlinie
Im Laufe der Berechnungen brauchen wir einige Formeln
aus dem Gebiet der hyperbolischen Funktionen , nämlich:
(cosh x) ^2 = 1 + (sin h x) ^ 2......................................(1)
sinh 2x = 2 sinh x cosh x .............................................(2)
Ableitungen:
y = sinh x , Ableitung y' = cosh x..............................(3)
y = cosh x , Ableitung y' = sinh x...............................(4)
Integral:
int [(cosh x ) ^2 * dx] = ¼*sinh(2x) + ½*x..................(5)
Inhalt der Rotationsfläche
F =2*Pi * int [ y * wurzel ( 1 + y' ^ 2)*dx ]................(6)
Wegen der Symmetrie der Kettenlinie verwenden wir als
untere Grenze des Integrals x = 0 und als obere Grenze
x = 1, und wir erhalten damit die Hälfte der gesuchten
Fläche.
Ausführung:
F = 2 * 2 * Pi * int [cosh x * wurzel (1 + (sinh x) ^ 2 }3dx]
In den genannten Grenzen 0 bis 1.
Nach (1) wird daraus:
A = 4 * Pi * int [(cosh x ) ^ 2 * dx ] ,Grenzen erwähnt
Schliesslich kommt mit (5):
A = Pi* [sinh 2x + 2x ], Grenzen eingesetzt
A = Pi / 2 * [e ^ 2 - e ^ ( - 2) + 4 ] ~ 17.6773 .
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
|
