| Autor |
Beitrag |
    
Dunja
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2000 - 15:44: | 
|
Hallo,
ich stehe vor folgendem Problem:
E1 geht durch A(2/4/-1), B(3/7/5-), C(-1/9/-10).
E2 sei die Ebene, bezüglich der die Punkte P(7/5/7) und P'(-1/1/-5) spiegelbildlich liegen. Was ist damit gemeint und wie kann ich zeigen, dass 2x+y+3z=12 die Koordinatengleichung von E2 ist?? Würde mich sehr freuen wenn ihr mir helfen könntet!!
Dunja |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 08:41: |
|
Hi Dunja,
Die gesuchte Spiegelungsebene E2 ist die
Mittelnormalebene der Strecke PP' ,
d.h.diejenige Ebene, welche durch den Mittelpunkt
M( 3 / 3 / 1) der Strecke geht und senkrecht auf
der Geraden g = PP' steht
Wir finden die Koordinaten von M als arithmetische
Mittel der entsprechenden Koordinaten der Punkte
P und P'. also:
xM = (7 + (-1)) / 2 = 3 , ...
Der Verbindungsvektor P' P
v = P' P = { 8; 4; 12 } = 4 { 2; 1; 3 } ist ein Normalenvektor
von E2 ; wir setzen die Koordinaten 2 , 1 , 3 als
Koeffizienten von x , y , z in die Ebenengleichung ein
und erhalten:
2x + y + 3z = d; wir bestimmen d , indem wir auf der linken
Seite die Koordinaten von M einsetzen ; es kommt d = 12.
Die Ebene E1 wird bei dieser Teilaufgabe nicht benötigt;
was soll mit ihr geschehen ?
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Dunja Bromkamp (Dunja)
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 13:21: |
|
Die ganze Aufgabe ist ein einziger Horror, und ich soll sie morgen auf Folie vorstellen! Es gibt in dieser Aufgabe auch noch E3, welche parallel zu E2 ist und durch den Punkt E2 geht. Nun soll ich eine Schnittgerade s von E1 und E2 berechnen, den Schnittwinkel, den Abstand zwischen E2 und E3 und dann kommt etwas, dass ich absolut nicht verstehe. Also: Die Gerade g1 liege in E1 und sei rechtwinklig zu der schon berechneten Schnittgerade s. Die Gerade g2 liege in E2 und sei ebenfalls rechtwinklig zu s. Die Geraden g1 und g2 sollen sich in einem Punkt mit der x-Koordinate 3 schneiden. Bestimme eine Gleichung von g1 und g2. Unter welchem Winkel schneiden sie sich? Ich verzweifle an dieser Aufgabe und würde mich freuen wenn du mir nochmal helfen könntest!!!! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 20:43: |
|
Hi Dunja,
Aus Zeitgründen ist es mir leider nicht möglich,
die ganze, recht komplexe Aufgabe, vorzulösen
Dazu bräuchte man wesentlich mehr Zeit,als wir
beide zur Verfügung haben.
Wenigstens leite ich die Gleichung von E1, die
Schnittgereade s von E1 und E2 her , sowie den
Schnittwinkel phi der Ebenen E1 , E2
E3 muss ich weglassen ; man weiss nicht, durch
welchen Punkt diese Parallelebene zu E2 gehen soll.
Gleichung von E1:
Sie lautet :- x + 3 y + 2z = 8
(mache die Probe aufs Exempel!)
Herleitung
Wir bilden die Verbindungsvektoren
u = AB = {1:3;-4} , v = AC = {-3;5;-9}
Das Vektorprodukt p = u x v gibt uns einen Normalenvektor
von E1 ; es gilt:
p = {-7;21;14}= 7* {-1;3;2};wir wählen den durch die
geschweifte Klammer gegebenen Vektor als Normalenvektor
und erhalten für E1 die Koordinatengleichung:
-x + 3y + 2z = d ; d wird 8 , wenn wir berücksichtigen, dass
A auf E1 liegen muss.
N.B.
Alle zu E2 parallelen Ebenen wie E3 haben die folgende Form:
2x + y +3z = d (mit einer zu bestimmenden Konstanten)
Fortsetzung folgt
Gruss
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 21:03: |
|
Hi Dunja,
Eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden
s der Ebenen E1 und E2 lautet
x = 4 + t , y = 4 + t z = 0 - t.
Wir ermitteln zuerst den Punkt P(4/4/0), der auf s liegt,
indem wir in beiden Ebenengleichungen z = 0 setzen
Wir erhalten die beiden Gleichungen
- x + 3y = 8 und
2x + y = 12 ,aus denen wir x = 4 , y = 4 berechnen
Den Richtungsvektor erhalten wir als Vektorprodukt w
der Normalenvektoren n1 ={-1;3;2} , n2 = {2;1;3);
Es kommt heraus:
w = n1 x n2 = {7;7:-7} = 7 * {1:1;-1}
Daraus ergibt sich obige Gleichung für s ,
wenn wir den Faktor 7 noch unterdrücken
Fortsetzung folgt
Gruss
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 21:27: |
|
Hi Dunja,
Mit Hilfe des Skalarproduktes der Normalenvektoren
n1 und n2 von E1 und E2 berechnen wir den Winkel phi
der Ebenen E1 und E2:
Es gilt "bekanntlich":
cos (phi) = [ (n1 .n2) ] / [abs (n1) * abs (n2)]
Im Zähler steht das genannte Skalarprodukt,
im Nenner das Produkt der absoluten Beträge
der Vektoren n1 und n 2 ;
also:
Zähler Z = [ - 1 * 2 + 3 * 1 + 2 * 3 ] = 7
NennerN = wurzel((-1)^2+3^2+2^2)*wurzel(2^2+1^2+3^2)=
= wurzel(14)*wurzel(14) = 14 (!),
also:
cos(phi) = Z/N = 7/14 = ½ , daraus phi = 60° (bravo!)
Dass muss genügen
Viel Erfolg wünscht
H.R.Moser,megamath. |
Dunja Bromkamp (Dunja)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. November, 2000 - 06:37: |
|
Danke Du hast mir echt total geholfen!!! =)
Jetzt kann ich wenigstens den Großteil der Aufgabe vorstellen. Übrigens konnte die Aufgabe die ich überhaupt nicht konnte irgendwie auch kein anderer aus meinem Kurs. Also nochmal Danke und einen schönen Tag!!!!! |
|
