| Autor |
Beitrag |
    
Nadice (Nadice)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2000 - 15:03: | 
|
Hallo wer kann mir bitte helfen???
Also die Funktion heißt: ft(x)=4e^tx-e^2tx(^bedeutet "hoch"); den a.)-Teil hab ich mit Müh u. Not gemacht, bin mir aber nicht sicher ob er richtig ist. Den b.)-Teil kapier ich ich einfach nicht, weiß nicht was ich machen soll! Also meine Lösungen zum Teil a.):Schnittpunkte mit der x-Achse N(ln 4/ 0);Schnittpunkt mit y-Achse S(0/3); Ableitungen ft'(x)=4e^tx-2e^2tx, ft''(x)= 4e^tx-4e^2tx, ft'''(x)=4e^tx-8e^2tx; Hochpunkt H(ln 2/ 4); Wendepunkt W(0/ 3);Asymptote y=0 ist waagrechte Asymptote für x gegen -unendlich. Stimmt das? So und jetzt der b.)-Teil: Es sei S der Schnittpunkt von ft(x) mit der y-Achse. Die Kurventangente in S, die Kurvennormale in S und die x-Achse bilden ein Dreieck. Für welchen Wert von t wird der Flächeninhalt dieses Dreiecks am kleinsten? Zeige, dass das Dreieck mit dem kleinsten Inhalt gleichschenklig ist. WER KANN MIR BITTE DABEI HELFEN???? Ich sollte das alles bis morgen verstanden und gerechnet haben, und das ist gerade mal die Hälfte des ganzen Aufgabenblattes!
Bitte schreibt zurück! |
Holger (Matheholger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2000 - 15:28: |
|
Hi Nadice!
f(x) = 4 e^tx - e^tx
f`(x) 4t e^tx - t e^tx
Den Teil a) schau ich mir hinterher an. Zum Teil
b):
SP mit der y-Achse:
f(0) = 4 e^0 - e^0 = 3 => S(0/3)
Für die Tangente durch S(xo/ f(xo)) gibt es folgende Formel:
y = f`(xo) (x - xo) + f(xo)
D. h. du musst 3 Sachen berechnen oder kennen:
xo = 0
f(xo) =3
f`(0)= 4t e^0 - t e^0 = 4t
Tangente:
y = 3t (x - 0) + 3
y = 3tx + 3
Die Tangente verläuft also für positives t von S aus nach links unten und schneidet die x-Achse in einem Punkt. Der soll M heißen.
Die Normale steht auf der Tangente senkrecht, ihre Steigung ist: m = -1/(3t)
Normale: y = -1/(3t)x + 3
Die Normale verläuft also für positives t von S aus nach rechts unten und schneidet die x-Achse in einem Punkt. Der soll N heißen.
Jetzt kommt das Dreieck:
Dieses ist durch die Punkte S, M und N festgelegt.
Seine Höhe ist immer 3.
Seine Grundseite ist so lang wie der Abstand von M und N.
Jetzt musst du nur die Schnittpunkte N und M berechnen.
M ( -1/t / 0 )
N ( 9t / 0)
Die Grundseite ist also:
g = 9t - ( -1/t) = 9t+1/t
Flächeninhalt: A = 1/2 g*h
A(t) = 1/2 (9t + 1/t) * 3
A ist eine Funktion von t, also musst du jetzt A nach t ableiten, Null setzen und nach t auflösen.
Wenn du nicht weiter kommst, frag nochmal.
ciao
Dein Holger |
Nadice (Nadice)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2000 - 16:19: |
|
Hallo Holger, vielen lieben Dank für deine Mühe. Ich hab jetzt angefangen mit dem nachrechnen. Die Tangente und Normale mach ich gerade. Was ich gut finde sind deine Erklärungen zwischendrin.Ich kanns dann besser nachvollziehen. Aber bei der Ableitung heißt doch die Ausgangsfunktion 4e^tx-e^2tx; muß ich dann auch bei 4e^tx das t nach vorne legen? Bei e^2tx hast du die 2 vergessen.Da muß es doch heißen 2e^tx, oder? Also zuerst hatte ich ft'(x)=4e^tx-e^2tx.Ich dachte, dass ich das t nicht nach vorne legen muß. Was ist denn richtig? Hilf mir bitte weiter.
Gruß, Nadice |
Nadice (Nadice)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2000 - 17:05: |
|
Holger ich hab jetzt bis zum Flächeninhalt des Dreiecks alles gerechnet. Hat auch gut geklappt. Doch bei: "A ist eine Funktion von t, also mußt du jetzt A nach t ableiten, Null setzen u. nach t auflösen." (bei deiner Antwort, ganz am Schluß) hab ich nicht verstanden, wie?!? Kannst du`s mir bitte erklären?
Bitte meld dich wieder.
Gruß, Nadice |
Holger (Matheholger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2000 - 17:57: |
|
Hallo Nadice
Jetzt bin ich wieder da.
Sporry, sorry, ich habe den Funktionsterm falsch abgeschrieben.
Es muss in den ersten beiden Zeilen heißen:
f(x) = 4e^tx - e^2tx
f`(x) = 4t e^tx - 2t e^2tx
Beim Ableiten musst du alles, was im Exponenten steht, ableiten und nach vorne ziehen.
der Rest bleibt gleich.
also: e^2x ----> 2 e^2x
e^234x ----> 234 e^234x
e^2x² ----> 2*2x e^2x²
e^tx ----> t e^tx
So jetzt erst mal die Verbesserung meiner Fehler --- Sorry
xo = 0
f(xo) =3
f`(0)= 4t e^0 - 2t e^0 = 2t
Tangente:
y = 2t (x - 0) + 3
y = 2tx + 3
Die Normale steht auf der Tangente senkrecht, ihre Steigung ist: m = -1/(3t)
Normale: y = -1/(2t)x + 3
Jetzt musst du nur die Schnittpunkte N und M berechnen.
M ( -3/(2t) / 0 )
N ( 6t / 0)
Die Grundseite ist also:
g = 6t - ( -3/(2t)) = 6t+3/(2t)
Flächeninhalt: A = 1/2 g*h
A(t) = 1/2 (6t+3/(2t)) * 3
Wenn du das inzwischen verbessern kannst, dann mail ich dir gleich den Rest.
ciao bis gleich
Holger |
Holger (Matheholger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2000 - 18:09: |
|
So jetzt geht`s weiter.
Wir waren bei A(t) = 1/2 (6t + 3/(2t))*3 stecken geblieben.
Wenn du kurz umformst, hast du:
A(t) = 9t + 9/4 * 1/t
Dieser Flächeninhalt soll am kleinsten (minimal) werden. Also müssen wir jetzt sein Minimum berechnen. Dazu tun wir so, als wäre A eine Funktion und t die Variable. Wenn das schwer vorstellbar ist, dann denk dir statt A ein f und statt t ein x.
Also f(x)=9x + 9/4 * 1/x
(Du darfst blos nicht f(x) schreiben, weil mit f(x) ja die urspr. Funktion gemeint war.)
Also, wo hat diese Funktion ein Minimum?
Wir leiten ab:
A(t) = 9t + 9/4 * 1/t = 9t + 9/4 * t^(-1)
A`(t) = 9 - 9/4 * t^(-2)
A``(t) = + 9/2 * t^(-2)
Jetzt muss A`(t) Null gesetzt werden:
0 = 9 - 9/4 * t^(-2)
Das ergibt: t1 = 1/2; t2 = -1/2
Setzt man in die 2. Ableitung ein, dann weiß man ob es ein Min oder Max ist.
A``(1/2) = 18 > 0 (Min)
A``(-1/2) = 18 > 0 (Min)
Also liegt für beide Werte von t ein Minimum vor.
Rest folgt in 10 Minuten.. |
Holger (Matheholger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2000 - 18:16: |
|
Hey, Nadice, bist du noch da??? Hoffentlich bist du nicht verzweifelt und kommst gar nicht mehr zurück!
Es geht weiter mit Teil 3:
Jetzt musst du wieder an das Dreieck denken.
Seine Eckpunkte waren:
S(0/3)
M ( -3/(2t) / 0 )
N ( 6t / 0)
Setzt du jetzt t ein, so bekommst du:
t = 1/2
M ( -3 / 0 )
N ( 3 / 0)
t = -1/2
M ( 3 / 0 )
N ( - 3 / 0)
Also liegen die Punkte M und N jedesmal symmetrisch zur y-Achse, die die Mittelsenrechte des dreiecks ist, und damit ist es gleichschenklig.
Alles klar?!!!
Ciao |
Holger (Matheholger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2000 - 18:22: |
|
Meine Mail Adresse lautet übrigens:
mathe.holger@freenet.de
Bei Problemen:
mail me
ciao
Holger |
Nadice (Nadice)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2000 - 18:36: |
|
Hallo Holger, bin begeistert!!! Mir hat das t in meinen Ableitungen gefehlt! Dadurch hab ich dann bei dem Versuch eine Flächeninhaltsfunktion zu finden( A(t) ) lauter Fehler gemacht, obwohl ich den richtigen Ansatz von dir hatte. Vielen,vielen lieben Dank.Bin jetzt erstmal emsig am Rechnen. Es ist einfach dir zu folgen.Wieso muß es mein Lehrer so kompliziert machen!? Kannst du mir auch den c-Teil erklären? Also falls du noch Lust hast: Die x-Achse und ft(x) begrenzen eine längs der negativen x-Achse ins Unendliche reichende Fläche. Zeige, das die Gerade y=3 diese Fläche in einem von t unabhängigen Verhältnis teilt.
Den Anfang versteh ich ja noch wörtlich (rechnerisch nicht!), doch beim Schluß hab ich schon einige Verständigungsschwierigkeiten.
-Falls du es machen wirst, egal wie lange du brauchst, ich bin froh wenn ichs einigermaßen nachvollziehen kann.
Gruß, Nadice |
Holger (Matheholger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2000 - 19:21: |
|
Oh je der Teil c) ist ohne Zeichnung gar nicht so einfach zu erklären.
Wenn du willst, mail ich sie dir per E-Mail zu.
Oder du musst mir erklären, ob ich hier auch einen Anhang versenden kann. Ich bin nämlich heute das erste Mal auf diese Seite gestoßen. Aber es macht richtig Spaß!!!
Meine E-Mail Adresse ist eins weiter oben.
Trotzdem kurze Erklärung der Fragestellung:
Wenn du den Graphen zeichnest, musst du die ganze Fläche zwischen ihm und der x-Achse im II. Quadranten (links von 0) schraffieren.
Dann zeichnest du die Gerade y = 3 (parallel zur x-Achse, 3 Einheiten über ihr - also durch S(0/3))
Diese Gerade teilt nun die schraffierte Fläche, d.h. aus der Fläche A (schraffiert) sind nun 2 Flächen geworden A1 und A2. Wenn du diese durcheinander teilst (erstmal integrieren), dann hast du das gesuchte Verhältnis.
Beim Integrieren kommt bei den Flächen A1 und A2 immer noch dieses dumme t vor.
Kommt im Ergebnis A1/A2 das t nicht mehr vor, dann ist das Verhältnis unabhängig von t.
Falls du damit zufrieden bist, dann komm ich heute nicht mehr hier her.
Ansonsten mail ich dir die Details gerne zu.
Bitte antworte mir gleich!!
Holger |
Bodo
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2000 - 21:10: |
|
Hallo Matheholger,
wie man Bilder, Funktionsgraphen, Attachments und mathematische Sonderzeichen einfügt, kannst DU hier nachlesen:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/board-formatting.html
Ist einfach - viel Spaß!
Bodo |
|
