| Autor |
Beitrag |
    
Ines
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2000 - 10:40: | 
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Aufgabe:
Beweise:
Wenn 2 verschiedene Linearkombinationen der Vektoren u,v,w NICHT denselben Punkt beschreiben können, dann sind u,v,w linear unabhängig!
Kann mir jemand helfen? |
Holger (Matheholger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2000 - 14:57: |
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Hi Ines!
Am besten ist, wir gleidern den Satz in eine Voraussetzung und eine Behauptung:
Vor: 2 versch. Linkomb. beschreiben nicht
denselben Punkt.
Beh: u,v,w lin unabh.
Einen solchen Beweis führt man als Widerspruchsbeweis.
Das heißt, man setzt das Gegenteil der Behauptung voraus (Annahme),und folgert das Gegenteil der Voraussetzung (widerspruch zur Vor.).
Beispiel:
Wenn heute Weihnachten ist,
dann ist jetzt Dezember
Gegenteil:
Wenn jetzt nicht Dezember ist,
dann ist jezt nicht Weihnachten.
Also hier:
Wenn u,v,w lin. abhängig,
dann beschreiben 2 versch. Li denselben Punkt.
Jetzt kommt der Beweis:
Annahme: u,v,w seien lin. abh.
d.h. x1 u + x2 v + x3 w = o
und mind. eines der x1,... ist ungleich null.
(x1,... sind die reellen zahlen, o ist der Nullvektor)
Z. B. könnte das x1 sein.
Dann darf ich auch durch x1 teilen (weil es nicht 0 ist) und die Gleichung nach u auflösen:
u = -(x2/x1)v - (x3/x1) w
Jetzt kommt der Punkt P an die Reihe.
Der soll so liegen, dass man ihn durch die Linearkombination
p = y1 u + y2 v + y3 w
beschreiben kann und dabei y1 nicht Null ist.
Also:
1. Linearkombination, die P beschreibt:
p = y1 u + y2 v + y3 w (y1 ist ungleich Null)
Setze ich nun u von vorhin ein, dann ergibt sich
die 2. Linearkomb, die P beschreibt:
p = y1 (-(x2/x1)v - (x3/x1) w) + y2 v + y3 w
Hier kommt u gar nicht mehr vor, das heißt der Koeffizient (vorher y1) von u ist hier Null.
Damit habe ich eine weitere aber von der ersten Linkomb. verschiedene Linkomb., die P beschreibt.
Genau das ist der Widerspruch zur Vor. in unserem Satz. Denn hier sollte sich P nicht durch 2 versch. Lin.komb. beschreiben lassen.
Also ist der Satz durch Widerspruch bewiesen.
Alles klar?!
Ciao
Dein Holger!
mathe.holger@freemail.de |
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