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sally
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 10:45: | 
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Eine zum Koordinatensystem symmetrische Funktion 3. Grades hat an der Stelle -2 einen Tiefpunkt und schließt mit der 1. Achse eine Fläche mit dem Inhalt 18 ein. Bestimme den Funktionsterm.
(Im vorraus schonmal vielen Dank!:-)) |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 21:50: |
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Hi Sally,
eine Funktion dritten Grades ist
f(x) = ax3 + bx2 + cx +d.
Die a,b,c,d sind (noch) nicht bekannt und müssen aus den anderen Angaben der Aufgabe ermittelt werden.
Was haben wir also noch?
Die Funtion ist symmetrisch zum Ko-system, das heißt genau: "symmetrisch zum Nullpunkt des Koordinatensystems", darum gilt für alle x: f(x) = -f(-x) [so ist die Bedingung in der Definition für Punktsymmetrisch].
Daraus ersieht man, daß b und d null sein müssen.
Wenn Du es noch nicht glaubst, schreib es Dir genau hin:
Wenn f(x) = -f(-x)
=> ax3 + bx2 + cx +d = -[a(-x)3 + b(-x)2 + c(-x) +d]
=> ax3 + bx2 + cx +d = ax3 - bx2 + cx - d
=> 2bx2 + 2d = 0
=> bx2 + d = 0
Das ist für alle x nur möglich, wenn b=d=0.
Dadurch hat sich schon ergeben, daß
f(x) = ax3 +cx
Was steht noch in der Aufgabe:
Ein Tiefpunkt bei -2.
An einem Tiefpunkt ist die erste Ableitung 0.
Berechne f'(x) = 3ax2 + c
und setze -2 für x ein: 3a*(-2)2 + c = 0
<=> 12a = -c
<=> c = -12a
Wenn wir jetzt a hätten, wäre auch c klar.
Letzte Angabe aus der Aufgabe:
Schließt mit der x-Achse 18 Flächeneinheiten ein.
Da ist also eine Aussage über das Integral der Funktion zwischen den Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse.
Zwar kennen wir die Funktion noch nicht, aber das kann uns nicht hindern die Gleichung f(x)=0 zu lösen (dabei setze ich ein, daß c = -12a)
f(x) = ax3 -12ax = 0
<=> x * (x2 + 12) = 0
<=> x = +w(12) oder x = -w(12) oder x=0
Das sind 3 Nullstellen. Also gibt es 2 Flächen, die mit der x-Achse eingeschlossen
werden. Da f(x) Punktsymmetrisch, ist die eine Fläche gleich dem negativen der anderen Fläche. Für mich bedeutet "die eingeschlossen Fläche" die Summe der Beträge der beiden Flächen. Ich berechne nun das Integral von 0 bis w(12). Das soll die Hälfte von 18 ergeben, also 9.
ò0 w(12) ax3 -12ax dx
= [a/4*x4 -12a/2*x2 ]w(12)0
= a/4*144 -6a*12
= 36*a -72a
= -36a
Nun wissen wir dummerweise nicht, ob a positiv oder negativ ist. Wenn wir also lösen wollen 9 = |-36a| müssen wird das aber wissen.
Haben wir in der Aufgabe noch etwas nicht benutzt?
Ja, bei -2 sollte ja ein Tiefpunkt sein.
Das heißt, daß die zweite Ableitung an -2 positiv ist.
f''(x)= 6ax
=> f''(-2) = -12a
Wenn f''(-2) positiv, dann ist a also negativ.
Mit negativem a ist -36a also positiv.
Wir lösen 9 = -36a
=> a = -1/4
und c = -12*(-1/4) = 3
Die gesuchte Funktion lautet:
f(x) = -1/4*x3 +3x
Eine Probe (gegen Rechenfehler):
f'(-2) = -3/4*(-2)2+3 = 0
f''(-2) = -6/4*(-2) = positiv
Scheint zu stimmen.
Gruß
Matroid |
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