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Anke
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 10:23: | 
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Bitte helft mir!
Meine Aufgabe ist:
Bestimme den Abstand des Punktes P (3/4)
von der Geraden x*cos45°+y*sin45°-1 = 0
Ich brauche dazu nicht nur die Lösung, sondern
einen vollständigen Rechenweg.
DANKE !!!
Anke |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 22:23: |
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Hi Anke ,
Deine Aufgabe ist sehr schnell gelöst,
wenn man über Kenntnisse
der Normalform einer Geradengleichung
im R2 hat (Normalform von Hesse)
Wenn man darüber nicht verfügt, gehe man zu Nr. 2
Wenn man dies voraussetzen darf, geht man zu Nr. 1
Nr.1.
Die Koeffizienten A, B der Variablen x und y
sind:
A = cos 45° und B = sin 45° , also je wurzel (2) / 2
Der Hessesche Divisor H = wurzel ( A^2 + B^2 )
ist neckischerweise H = 1.
Die Normalform der Geradengleichung entsteht, wenn man
die auf null gebrachte Gleichung durch H dividiert
(x * cos 45° + y * sin 45° - 1 ) / 1 = 0
Wegen H = 1 , ändert sich an der von Dir vorgelegten Gleichung
rein nichts, d.h. sie liegt a priori schon in Normalform vor,
(ein Gag des Aufgabenstellers ?)
Setzen wir nun an Stelle von x und y die Koordinaten x =3,y=4
des gegebenen Punktes ein, so stellt die linke Seite den von
Dir sehnlichst erwarteten Abstand d dar
Es kommt:
d = 3*cos(45°) + 4* sin(45°) - 1
= 7 * wurzel(2) / 2 - 1 ~ 3.9497
Kontrolliere das Ergebnis in einem rechtwinkligen
Koordinatensystem , Längeneinheit 1 cm
Die Gerade schneidet die x-Achse im Punkt U(wurzel(2) / 0),
die y-Achse in V(0 / wurzel (2)).
Nr 2
Folgt etwas später.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 22:51: |
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Hi Anke ,
Als Nr.2 erscheint jetzt der theoretische Teil
Man gewinnt die trigonometrische Form der
Hesseschen Normalform einer Geraden im R2,
indem man vom Nullpunkt O aus die Senkrechte
h zu g legt und diese im Punkt F mit h schneidet
F ist somit der Fusspunkt des Lotes h zu g
auf g
Die Polarkoordinaten p und alpha des Punktes F
spielen nun die Hauptrolle im folgenden Sinn:
Die Normalform von g ergibt sich mit der Gleichung
x * cos (alpha) + y * sin (alpha) - p = 0
N.B.
Bei Deinem Beispiel gelten : p = 1 und alpha = 45°
Weiter gelten die für die Praxis wichtigen Sätze:
(I)
Eine in der allgemeinen Form gegebene Geradengleichung
A x + B y + C = 0
wird in die Normalform dadurch übergeführt, dass man
die linke Seite mit H = wurzel(A^2+B^2) dividiert.
(II)
Setzt man in die linke Seite einer in der Normalform
vorliegenden Geradengleichung an Stelle der variablen
Koordinaten x , y eines laufenden Punktes der Geraden
die festen Koordinaten x1 , y1 irgendeines Punktes ein,
so erhält man den Abstand dieses Punktes von der Geraden.
Nochmals
Freundliche Grüsse
H.R.Moser,megamath. |
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