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Beitrag |
    
LoFi
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 09:09: | 
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In Anlehnung an die Aufgabe Kreis und Gerade hab ich hier eine Abwandlung der Aufgabe.
Gegeben :
Gerade g : ax-y=-5
Kreis k : x^2+y^2 = 5
Bestimme a so, daß g Tangente von K ist.
Den bereits gelösten Fall mit bekannter Steigung und gesuchtem y-Achsenabschnitt fand ich rel. simpel, aber hier komm ich jetzt nicht weiter.
Danke euch,
Gruß
LoFi |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 20:29: |
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Hi LoFi,
Wir lösen diese Aufgabe wiederum mit der
Diskriminantenmethode
(siehe im Archiv unter diesem Stichwort)
Schnitt Gerade y = ax + 5 mit Kreis durch
Einsetzen dieses y - Wertes in die
Kreisgleichung. x^2 + y^2 = 5
Ergibt die quadratische Gleichung
(a^2+1)*x^2 + 10 a * x + 20 = 0
Diskriminante D = 100* a^2-830 * ( 1 + a ^2 )
Null setzen, damit die quadratische Gleichung für x
eine Doppellösung erhält
D = 0 ergibt die gesuchten a-Werte:
a1 = 2 , a2 = -2
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 20:32: |
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Die Diskriminante lautet:
D = 100* a^2 -80*(1 + a^2) !! |
Lofi
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 10:33: |
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Hallo H.R.,
danke dir erstmal für deine Lösung, mein Ansatz sah zwar ganz ähnlich aus, aber mir hat dann doch der entscheidende Hinweis mit der Diskriminante gefehlt. dafür hab ich dann eine etwas andere Lösung des Problems gefunden(ist allerdings sehr spezifisch an die Aufgabe gebunden). |
lofi
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 11:49: |
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Hi H.R.,
ich hab jetzt mal alle Hinweise hier im Board zum Thema Diskriminante durchgeackert, aber leider komm ich damit nicht zu der Diskrinante, die Du mir genannt hast. Wäre superlieb, wenn du mir dieses Schritt noch mal etwas konkreter erläutern könntest und vielleicht ne kleine allgemeine Def. oder was in der Art anhängen könntest. Jetzt hab ich von nem Kollegen auch noch gehört, daß es da sogar ne Erweiterung zu geben soll (ABC-Methode, Mondschein-Formel????), aber genau erinnern kann er sich leider auch nicht mehr.
Schon mal vielen Dank für deine Hilfe
Gruß
Joachim |
H,R,Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 13:33: |
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Hi LoFi,
Nochmals die Diskriminantenmethode mit Kommentar
Aufgaben:
a) Die Gerade 3x - y = c soll den Kreis x^2 +y^2 = 10
berühren
Gesucht c
b) Die Gerade ax - y soll den Kreis x^2+y^2 = 5 berühren
Gesucht a
Wir lösen beide Aufgaben mit der sogenannten
Diskriminantenmethode:
Wir schneiden den Kreis mit der Geraden, indem
wir den y-Wert aus der Geradengleichung in die
Kreisgleichung einsetzen.
Wir fordern, dass die beiden Schnittpunkte zusammenfallen
(der so entstehende Doppelschnittpunkt ist dann der
Berührungspunkt der Tangente)
Diese Bedingung lässt sich dadurch realisieren,
dass wir für die entstehende quadratische Gleichung in x
eine Doppellösung erzwingen und zwar
durch Nullsetzen der Diskriminante D dieser quadratischen
Gleichung.
Durchführung
Zu a):
y = 3x - c in x^2 + y^2 10 eingesetzt, liefert die quadratische
Gleichung: 10 x ^ 2 - 6 c x + c ^ 2 - 10 = 0
Diskriminante D = B ^ 2 - 4 * A * C = 36 c^2 -40* (c^2 - 10 )
D = 0 führt auf die quadratische Gleichung in c :
c ^ 2 = 100 mit den Lösungen c1 = 10 , c2 = -10.
Zu b): analog;
y = a x + 5 , eingesetzt in x ^ 2 + y ^2 = 5 liefert:
x ^ 2 + a ^ 2 * x ^ 2 + 10 * a *x + 25 = 5 oder:
( a ^ 2 + 1 ) * x ^ 2 + 10 * a* x + 20 = 0
Diskriminante D = 100 * a ^ 2 - 80 * ( a ^ 2 + 1 ) = 0
vereinfacht: 20 * a ^2 = 80 oder: a ^ 2 = 4 mit
den Lösungen a1 = 2 , a2 = - 2
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
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