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Sarah
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. November, 2000 - 19:40: | 
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Ein gleichschenkliges Dreieck ABC hat folgende Eigenschaft: werden die Winkel bei A und B verdoppelt (wobei die Basis AB fest bleiben soll), so entsteht ein Dreieck ABC', dessen Fläche viermal so gross ist wie diejenige von ABC. Berechnen sie den Basiswinkel a des Dreiecks ABC. |
Go
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 22:39: |
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Sarah, was hat das mit goniometrischen Gleichungen zu tun? |
Sarah
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 09:08: |
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Hi Go,
so ganz klar ist mir das auch nicht (sonst würd ich kaum fragen), aber ich denke bei der Auflösung kommt man nicht um eine Goniometrische Gleichung rum.
Ich hab mir folgendes überlegt:
Für die Fläche:
A=0.5cxh' wobei c=Grundfläche, h'=Höhe des Ausgangsdreiecks.
Und A=(0.5cxh)/4 für das 4x-grössere Dreieck.
Und für die Winkelbeziehung: (Unter Berücksichtigung des tan.)
tan a = h'/0.5c und tan 4a= h/0.5c
Das ganze nach h bzw. h' aufgelöst und in die jeweilige Gleichung der Fläche eingesetzt, also:
A= 0.5c (tan a x (0.5c)) und A= (0.5c (tan 4a x (0.5c))/4). Das ganze Gleichgesetzt und dann sowas wie 8tan a = tan 4a erhalten.
Kommt das etwa hin? Und wenn ja wie gehts jetzt weiter???? |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 20:14: |
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Hi Sarah,
du schreibst doch ...Winkel bei A und B verdoppelt..., also nicht tan(4a), sondern nur tan(2a). Und A=(0.5cxh)/4 für das 4x-grössere widerspricht sich auch.
Wenn das Dreieck ABC' das größere sein soll, ist es sinnvoll, dessen Höhe h' zu nennen, so dass dann herauskommt:
kleines Dreieck ABC mit Basiswinkel a:
tan(a) = h/(c/2) = 2h/c => h=c*tan(a)/2
und Fläche F = hc/2 = c2tan(a)/4
großes Dreieck ABC' mit Basiswinkel 2a:
tan(2a) = h'/(c/2) = 2h'/c => h' = c*tan(2a)/2
und Fläche F' = h'c/2 = c2tan(2a)/4
nun soll sein: F' = 4*F
=>c2tan(2a)/4 = 4*c2tan(a)/4 | *4/c2
(man kann die Argumentation auch abkürzen und an dieser Stelle einsteigen mit der Begründung, ein viermal so großes Dreieck hat eine viermal so große Höhe)
=> tan(2a) = 4 tan(a)
mit dem Additionstheorem des Tangens:
tan(2a) = 2*tan(a)/(1-(tan(a))2) wird das zu
tan(a)/(1-(tan(a))2) = 4 tan(a) |*(1-(tan(a))2)
2*tan(a) = 4 tan(a) - 4(tan(a))3
4(tan(a))3 - 2tan(a) = 0
tan(a)=0 V 4(tan(a))2 - 2 = 0
a=0° V a=180° V (tan(a))2 = 1/2
- entfallen - V tan(a) = 1Ö2
=> a = 35.26° gerundet |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 20:54: |
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Ach so,
Tangens-Additionstheorem
sin(a+b)
tan(a+b) = -----------
cos(a+b)
Folgt aus Sinus-Additionstheorem, hier oder hier, um das für cos zu erhalten, berechne cos(a+b)=sin(a+b+90°):
sin(a+b) = sina cosb + cosa sinb
cos(a+b) = cosa cosb - sina sinb
sina cosb + cosa sinb
tan(a+b) = ----------------------
cosa cosb - sina sinb
kürzen mit (cosa cosb)2
führt auf
tan(a) + tan(b)
----------------- = tan(a+b)
1 - tan(a)*tan(b) |
Trailor
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Dezember, 2000 - 13:08: |
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Hi Bernd ! Also wenn ich den Beweis mit (cos(a)*cos(b))^2 durchführe, passt das mit dem kürzen nicht !
Ich habe das Quadrat beim Tangenztheoreme weggelassen und dann klappts ! |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Dezember, 2000 - 20:14: |
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Hi Trailor, da gebe ich dir recht, ich weiß auch nicht, warum ich da das Quadrat drangeschrieben habe.
Richtig muss es also heißen:
kürzen mit (cosa cosb)
Danke für die Korrektur! |
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