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Stefan
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. November, 2000 - 17:34: | 
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Hallo Leute,
habe folgendes zu zeigen:
1.Aufgabe
Aus b,d >0 und a/b < c/d folgt a/b < a+c/b+d < c/d
2.Aufgabe
Für 0<=r<s gilt r/1+r < s/1+s
Wie geht man solche Aufgabe ranne !? Für eine Lösung wäre ich sehr dankbar !
Stefan |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. November, 2000 - 00:11: |
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Hallo Stefan, zur 1. schau dir mal die Rechnung vom 11.Aug2000, 18:48 Uhr an (vertauschte Rollen von a und c)
ran gehst du an solche Aufgaben am besten, indem du den Weg rückwärts beschreitest und das zu Zeigende hinschreibst und es vereinfachst, so dass es auf wahre Aussagen zurückgeführt wird. Zur Übung schreibst du das dann in umgekehrter Reihenfolge nochmal hin, so dass es dann "vorwärts" da steht so wie hier:
zu 2.) r<s | + rs
r+rs < s+rs
r(1+s) < s(1+r) | *1/[(1+s)(1+r)]
r/(1+r) < s/(1+s) |
Peter
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. November, 2000 - 16:24: |
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hi bernd .. aber ich glaube .. da .. mmm
also den fall r=0 sollte man bei dem beweis auschliesen und extra zeigen .. aber dann .. ja .. erste klasse :-). .aber das weisst du ja..
ciaoi |
Jörg
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. November, 2000 - 17:09: |
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Hi Bernd!
Ohne daß ich jetzt zu kleinkariert wirken will, aber die Rechnung "vorwärts" ist nicht nur zur Übung gut, sondern sogar zwingend notwendig, weil man sonst nicht mit Sicherheit sagen kann, daß das, was zu zeigen ist, auch gilt. Aus einer falschen Aussagen kann man nämlich bekanntermaßen alles schließen.
Jörg |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. November, 2000 - 18:18: |
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Hallo Jörg, ich finde nicht, dass die Frage kleinkariert wirkt, Bedenken sind immer wichtig, schließlich soll das hier schon fundiert gemacht werden und nicht auf Gutes Gelingen. Ich habe aber keinen Anlass finden können, warum mit dem "Rückweg" nicht auch gleichzeitig der "Hinweg" gezeigt ist,
solange man beim "Hinweg" Äquivalenzzeichen machen kann und nicht bloß "=>", hat man doch, sobald sich die Aussage in der letzten Zeile als wahr herausstellt, gleichzeitig gezeigt, dass die in der ersten wahr ist, oder nicht?
Aussage "A":
r/(1+r) < s/(1+s) | *(1+r)(1+s),
[ beide Multiplikanden sind positiv wegen 0 < 1+0 £ 1+r < 1+s, also keine Umkehr des Relationszeichens ]
<=> r(1+s) < s(1+r)
<=> r+rs < s+rs | -rs
<=> r < s (Aussage "B")
also wenn "A=>B" bedeutet "aus A folgt B" und "A<=B" bedeutet "aus B folgt A", dann bedeuten die Äquivalenzzeichen "A<=>B" doch sowohl "aus A folgt B" als auch "aus B folgt A", also habe ich doch, sobald ich in der letzten Zeile die Aussage B (r<s) stehen habe, zugleich auch gezeigt, dass A ( r/(1+r) < s/(1+s) ) gilt, denn die umgekehrten Umformungen "+rs", ": (1+r)" und ": (1+s)" machen doch keine Schwierigkeiten, noch nicht mal für r=0, und falls r=0 ist, sind doch auch alle Schritte mit eingeschlossen, oder nicht, Peter?
0 = r < s |+rs, wobei rs=0
<=> 0+0 = r+rs < s+rs | : (1+s) : (1+r), wobei 1+r=1
<=> 0: (1+s) :1 = r/(1+r) < s/(1+s)
<=> 0 < s/(1+s)
ich sehe da keine Veranlassung, den Fall r=0 oben auszuschließen.
Zeigt mir bitte, was noch falsch ist.
Gruß, Bernd |
Jörg
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 18:56: |
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Hallo Bernd!
Ich habe mal gelernt, daß man NIE von dem, was zu zeigen ist, ausgehen darf und es dann auf eine bekannte Tatsache zurückführen darf. Das ist nämlich aus beweistechnischer und logischer Sicht nicht in Ordnung.
Man kann sich das sprachlich vielleicht folgendermaßen klar machen:
Es regnet => die Straße wird naß
Daraus, daß die Straße naß ist, kann man aber NICHT folgern, daß es geregnet hat.
Etwas mathematischer: A=>B, B gilt, über A kann keine Aussage gemacht werden. Anders sieht es natürlich aus bei A <=> B, B gilt, also muß auch A gelten, da A genau dann gilt, wenn B gilt und umgekehrt.
Aber bei Berweisen weiß man ja vorher in aller Regel nicht, ob 2 Aussagen äquivalent sind.
So sehe ich das jedenfalls, aber ich will mich da auch gerne berichtigen lassen.
Jörg |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 18:50: |
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Hallo Jörg,
was war denn jetzt im Beitrag von 19:18 Uhr falsch?
also nochmal:
Erst, wenn man den Weg von A nach B aufschreibt, und dazwischen "=>" setzt, hat man die Behauptung "A=>B" bewiesen, das ist klar:
r < s (A)
=> r+rs < s+rs
=> r(1+s) < s(1+r)
=> r/(1+r) < s/(1+s) (B)
also A=>B
*************************
Stünde das jetzt in umgekehrter Reihenfolge da,
wäre nicht bewiesen, dass A=>B gilt, das ist klar, es ist nur gezeigt, dass B=>A:
r/(1+r) < s/(1+s) | *(1+r)(1+s) (B)
=> r(1+s) < s(1+r)
=> r+rs < s+rs | -rs
=> r < s (A)
*********************************
Schreibt man sich aber diesen Weg (B=>A) nochmal auf, und ersetzt die "=>" durch "<=", wobei man dann natürlich von jeder Zeile zur vorherigen prüfen muss, ob das ersetzte "<=" auch wirklich gilt, so ergeben die "=>" und "<=" doch zusammen ein "<=>", und dann steht da "A<=>B" , und damit gleichzeitig auch "A=>B".
also so:
r/(1+r) < s/(1+s) | *(1+r)(1+s),
<=> r(1+s) < s(1+r)
<=> r+rs < s+rs | -rs
<=> r < s
Ich will mich schließlich auch gerne berichtigen lassen, wo was falsch ist, aber dazu muss man es mir schon konkret bezeichnen.
Daraus, dass die Straße nass ist, kann natürlich nicht gefolgert werden, dass es geregnet hat, weil es noch tausende andere Möglichkeiten gibt, wie die Straße nass werden kann.
Aber ich hoffe, all diese tausenden anderen Möglichkeiten, weshalb z.B. r/(1+r) < s/(1+s) gelten kann, ohne dass es aus r(1+s) < s(1+s) folgen muss, habe ich bei obigem prüfen ausgeschlossen, so dass wirklich zwingend ein "<=" gesetzt werden kann, und somit ein "<=>" entsteht, wo vorher nur ein "=>" stand.
zum Beispiel darf bei dem Regen-nass-Beispiel ja dann ein "<=" gesetzt werden, wenn alle anderen Möglichkeiten ausgeschlossen sind, z.B. weil es auf der Erde kein Wasser mehr gibt.
Also nochmal meine Frage: Was war denn konkret falsch? |
Jörg
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 20:15: |
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Hi Bernd!
Scheint so, als ob ich mich falsch ausgedrückt habe! Oder ich habe Dich falsch verstanden! Sorry dafür! Ich meinte nicht, daß Dein Beweis an sich falsch ist, sondern wollte eigentlich nur nochmal betonen, daß nach einem Beweis B=>A die Richtung A=>B auf jeden Fall noch zu zeigen ist, das hast Du ja jetzt auch deutlicher formuliert als anfangs, wobei darauf zu achten ist, daß die Umformungen äquivalent sind. In der Regel ist das von Dir beschriebene Vorgehen wohl kein Problem, aber es gibt Beispiele, in denen es nicht klappt, obwohl man jeweils Äquivalenzzeichen setzen kann, so z.B. bei dem Beweis, daß folgende Behauptung gilt:
(a+b)/2 ist größer gleich SQRT(ab)
Hier kann man nämlich von eben dieser Aussage ausgehen und erhält nach geeignetem Umformen
(Multiplikation mit 2, Quadrieren, Binomische Formel, Subtraktion von 4ab und erneuter Binomischer Formel) eine wahre Aussage, die somit die (wahre!) Ursprungsaussage zu beweisen scheint, aber unter STRENGSTEN formalen Gesichtspunkten keinen Beweis, weil man von einer Aussage ausgegangen ist, über deren Wahrheitswert nicht bekannt ist und aus dieser Aussage etwas geschlossen hat. Ich habe es schon erlebt, daß Beweise aus diesem Grund überhaupt nicht anerkannt wurden. Man kann sich sicher streiten, ob das gerechtfertigt ist, insbesondere dann, wenn Äquivalenzzeichen gesetzt werden! Für meinen persönlichen Geschmack wäre das übertrieben.
Ich selber würde den Beweis, von dem wir hier ausgegangen sind, so führen, wie Du ihn vorgeschlagen hast, aber eben nur in der anderen Richtung aufschreiben.
Lieber Stefan!
Wenn Du das hier liest, laß Dich nicht verunsichern. Die Frage, über die Bernd nd ich hier diskutiert haben, ist für den Schulbereich nicht relevant, denke ich. Und wenn sie es doch sein sollte, hat Euch der Lehrer mit Sicherheit theoretische Grundlagen zur Beweisführung beigebracht.
Und wenn nicht: KEINE Panik, Bernds Methode ist in der Praxis in 99,9 % der Fälle tragfähig, die Bedenken sind fast nur theoretischer Natur!
Viel Glück beim Abi!
Jörg |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 23:15: |
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Hallo Jörg,
Ich gebe meinen Fehler zu: dass ich bei meinem ersten Beitrag überhaupt keine Zeichen benutzt habe, war schlecht. Meist kann ja auch nur ein "=>" gesetzt werden, stillschweigend habe ich allerdings vorausgesetzt, dass mitgedacht wird und so oft wie möglich auch ein Äquivalenzzeichen gesetzt wird.
Am 7. um 19:18 Uhr hatte ich das schon genauso formuliert wie nochmal am 8. um 19:50 Uhr:
7., 19:18:
Aussage "A":
r/(1+r) < s/(1+s) | *(1+r)(1+s),
[ beide Multiplikanden sind positiv wegen 0 < 1+0 £ 1+r < 1+s, also keine Umkehr des Relationszeichens ]
<=> r(1+s) < s(1+r)
<=> r+rs < s+rs | -rs
<=> r < s (Aussage "B")
8., 19:50:
r/(1+r) < s/(1+s) | *(1+r)(1+s),
<=> r(1+s) < s(1+r)
<=> r+rs < s+rs | -rs
<=> r < s
-mit Beispiele, in denen es nicht klappt - meinst du die Behauptung:
(a+b)/2 ³ Ö(ab) ?
Ich behaupte: die gilt gar nicht allgemein, z.B. für a=-3 und b=-4 gilt sie nicht.
Will man zeigen, sie gilt für a,b ³ 0, dann sehe ich keinen Hinderungsgrund, Äquivalenzzeichen zu benutzen:
(a+b)/2 ³ Ö(ab) |*2
<=> a+b ³ 2Ö(ab) |quadrieren
(BEM. (meine Auffassung): "quadrieren" ist dann eine Äquivalenzumformung von Ungleichungen, wenn nichtnegative Zahlen quadriert werden, was a+b und 2Ö(ab) ja sicherlich sind, wenn a,b ³ 0)
<=> a²+2ab+b² ³ 4ab | -4ab
<=> a²-2ab+b² ³ 0
<=> (a-b)² ³ 0
Da die letzte Zeile für alle a,b erfüllt ist, überall Äquivalenzzeichen stehen, ist der Fall (meiner Meinung nach) erledigt, und es ist automatisch die Gültigkeit der ersten Zeile, also der Behauptung
(a+b)/2 ³ Ö(ab) für a,b ³ 0 bewiesen.
Ich lasse mich, wie du weißt, gern von was anderem überzeugen, z.B. wenn meine BEM. falsch ist.
Gruß, Bernd |
Peter
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 10:11: |
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hallo bernd
bei einer multiplikation mit null geht aufjedenfall die aquivalenz verlohren, so dass man aus der wahrheit einer aussage nicht mehr auf die ursprüngliche schliesen kann. |
Jörg
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 13:32: |
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Hallo Bernd!
Im Grunde widersprechen wir uns gar nicht! Du hast völlig richtig festgestellt, daß die von mir angegebene Gleichung nicht für alle
a, b gilt. Weiterhin wird auch niemand bestreiten, daß das Quadrieren
nicht immer eine Äquivalenzumformung ist. Aber gerade WEIL die angegebene Gleichung nur mit den von Dir angegebenen Einschränkungen stimmt, darf man nicht so vorgehen, wie ich es angedeutet habe, denn dann landet man bei einer wahren Aussage! Und möglicherweise hat man vorher ja gar nicht bedacht, daß a und b nicht negativ sein dürfen! Oder mache ich da jetzt einen Denkfehler?
Entschuldige übrigens, daß ich nicht bemerkt habe, daß Du in den beiden von Dir angegebenen Postings den Beweisvorgang auf die gleiche Weise beschrieben hast!
Jörg |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 16:54: |
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Hallo Jörg, wenn ich dich nochmal zitiere,
...aber es gibt Beispiele, in denen es nicht klappt, obwohl man jeweils Äquivalenzzeichen setzen kann, so z.B. bei dem Beweis, daß folgende Behauptung gilt:
(a+b)/2 ist größer gleich SQRT(ab)
Hier kann man nämlich von eben dieser Aussage ausgehen und erhält nach geeignetem Umformen
(Multiplikation mit 2, Quadrieren, Binomische Formel, Subtraktion von 4ab und erneuter Binomischer Formel) eine wahre Aussage, die somit die (wahre!) Ursprungsaussage zu beweisen scheint
Meiner Meinung nach liegt der Fehler in der Behauptung obwohl man jeweils Äquivalenzzeichen setzen kann und nicht in der Rückwärts- statt Vorwärtsrichtung des Beweises, denn Äquivalenzzeichen setzen darf man sicher nicht, wenn man nicht gleichzeitig dazusagt, dass a³0 und b³0 gelten müssen, genaugenommen muss das sogar in jeder Zeile dabeistehen, und zwar mit einem "UND"-Zeichen mit der Ungleichung verbunden. Dann wäre der Formalismus perfekt:
( (a+b)/2 ³ Ö(ab) UND a³0 UND b³0 )
<=> ( a+b ³ 2Ö(ab) UND a³0 UND b³0 )
<=> ( (a+b)2 ³ 4ab UND a³0 UND b³0 )
....
<=> ( (a-b)² ³ 0 UND a³0 UND b³0 )
Und so sehe ich keine Probleme, diesen Beweis gelten zu lassen, auch ohne ihn nochmal andersherum aufzuschreiben.
Generell bin ich natürlich auch dafür, das zu zeigende ans Ende zu setzen und nur "=>" zu verwenden, nur, dann erscheinen alle gemachten Schritte nicht naheliegend, sondern aus der Luft gegriffen, und derjenige, der den Beweis wissen will, muss sich das ganze zweimal durchlesen, damit er die Beweggründe versteht, warum dieses und jenes gemacht wurde. Ich will Stefan nicht unterstellen, dass er das in umgekehrter Reihenfolge nicht verstanden hätte, nur, sehr naheliegend ist der Schritt mit |+rs ja nicht, wenn man das Ende nicht in der übernächsten Zeile schon absehen könnte, sondern der Beweis z.B. über mehrere Bildschirmseiten ginge.
Geht man den Rückweg, macht man halt immer das, was am nächsten zu liegen scheint und die Gründe, warum man das macht, ergeben sich von selbst.
..für Verbesserungen natürlich offen...
Gruß, Bernd |
Jörg
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 19:49: |
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Lieber Bernd!
Nach genauerem Nachdenken muß ich mich wohl "geschlagen" geben. Macht aber nix, denn dafür sind Diskussionen ja u.a. da, oder nicht!
Besten Dank für den anregenden Gedankenaustausch!
Jörg |
süsser
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2000 - 12:45: |
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Hi B. Berd!
Da hast du Jörg geschlagen - sag mal bist du Lehrer? |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 19:29: |
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Hi du süsser,
schlagen wollte ich Jörg nun nicht, Lehrer bin ich auch nicht.
Hi Jörg,
vielleicht hätte ich ja auch was falsch verstanden, und das wäre genausogut, wenn das hier aufgedeckt worden wäre, und deshalb finde ich auch, dazu sind solche Diskussionen da.
Gruß, Bernd |
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