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Katja (lilafee)
Neues Mitglied
Benutzername: lilafee
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. April, 2002 - 14:18: | 
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Hey IHRS!
Ich hoffe jemand kann mir helfen. Ich sitzt jetzt schon ne Ewigkeit an dieser miesen Aufgabe und krieg bald ne Krise.
Meine mathematischen Fähigkeiten sind sehr begrenzt, deswegen steig ich einfach nicht hinter diese Aufgabe, die wie folgt lautet:
Führen Sie eine vollständige Kurvendiskursion durch.
Für jedes t>0 ist die Funktion ft gegeben durch
ft(x)= 1/t* e^(-1/2*t*x).
K(t) ist das Schaubild dieser Funktion.
g: x=1, die x- Achse und K(2) begrenzen eine ins unendliche reichende Fläche.
Welche zur y-Achse Paralelle halbiert diese Fläche.
Bei mir fängt es ja schon an, dass ich nicht mal weiß wie ich die zeichnen soll. Ich hab zwar schon rausbekommen wie ich die Ableitung theoretisch bilden könnte, aber da kommt so ein Murks raus, dass das nicht stimmen kann.
BITTE HELFT MIR.
DANKE KATJA |
Peter (analysist)
Junior Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. April, 2002 - 15:43: |
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Hallo Katja,
erst einmal zum Zeichnen:
Da es zu einer Schar unendlich viele Funktionsgraphen, kann man die Graphen nur exemplarisch zeichnen. Unten im Beispiel habe ich die Graphen für t=-4; -3,5; -3; ...; 4 zeichnen lassen.
Zur Kurvendiskussion: Das wichtigste ist, dass man den Parameter t wie eine feste Zahl behandelt. Dann sind auch die Ableitungen nach Kettenregel kein Problem:
ft(x)= (1/t)* e^(-1/2*t*x)
f't(x)= (1/t)(-1/2*t)e^(-1/2*t*x)=(-1/2)e^(-1/2*t*x)
f''t(x)= 1/4*t*e^(-1/2*t*x)
f'''t(x)=-1/8*t^2*e^(-1/2*t*x)
Vollständige Kurvendiskussion:
1.) ID=IR
2.) Symmetrie:
ft(x)= 1/t* e^(-1/2*t*x)
ft(-x)= 1/t* e^(1/2*t*x)
-ft(x)= -1/t* e^(-1/2*t*x)
ft(x)<>ft(-x)im Allgemeinen => keine Symmetrie zur y-Achse
ft(-x)<>-ft(x)im Allgemeinen => keine Symmetrie zum Ursprung
3.) Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
f(0)=1/t y-Achsenschnittpunkt (0;1/t)
Nullstellen
1/t* e^(-1/2*t*x) =0
1/t > 0 und e^z >0 für alle reellen z, also keine Nullstellen
4.) Extrempunkte
Notw. Bed. ft'(x)=0
(-1/2)e^(-1/2*t*x)<>0, da e^z >0 für alle reellen z, also keine Extremstellen
5.) Wendepunkte
Notw. Bed. f''t(x)=0
1/4*t*e^(-1/2*t*x) <> 0, da e^z >0 für alle reellen z, also keine Extremstellen
6.) Verhalten im Unendlichen
Da t>0 laut Aufgabenstellung, braucht man hier keine Fallunterscheidungen t ist positiv
Limes x gegen unendl. [(1/t)* e^(-1/2*t*x)]
= 0 // Setze z.B. x=100 ein
Limes x gegen -unendl. [(1/t)* e^(-1/2*t*x)]
= unendl. // Setze z.B. x=100 ein
7.) Graph s.u.
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Für die andere Aufgabe brauchen wir f2(x)=1/2e^(-x)
Berechnen wir erst einmal den gesamte Flächeninhalt:
Integral von 1 bis unendl. 1/2e^(-x) dx
Eine Stammfunktion zu e^(-x) ist -e^(-x), also hier
F(x)=-1/2e^(-x)
F(unendl)= 0
F(1)=-1/(2e)
Ages=F(unendl)-F(1)= 0 - (-1/(2e))=1/(2e)
Gesucht ist jetzt die Stelle, an der diese Fläche halbiert wird, nennen wir sie b. Dann ist
F(b)-F(1)=1/(4e)
F(b)-(-1/(2e))=1/(4e) /// -1/(2e)
F(b)=-1/(4e)
-1/2e^(-x)=-1/(4e)
e^(-x)=1/(2e)
-x=ln(1/(2e))
-x=-ln2-1
x=ln2+1 (ca. 1,69)
Gruß
Peter
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Juliane Hörnig (logic)
Neues Mitglied
Benutzername: logic
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. September, 2002 - 10:46: |
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Aufgabe:
Gegeben sei die Kurvenfunktion
fa(x)=x2-alnx ,x>0, a>0
a)Untersuchen Sie fa auf Extrema und Wendepunkte
b)Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve der Extrema
c)Für welchen Wert von a berührt der Graph von fa bei der Extremalstelle die x-Achse?
d)Zeigen Sie, dass fa für 0<a<5 keine Nullstellen besitzt (Nutzen Sie die Resultate aus den vorhergehenden Aufgabenteilen.)
Komme nur auf unlogische Ergebnisse.Könnte mir jemand helfen, wenn ja dann bitte mit Rechenweg.
Schon mal danke und viel Spass! |
mythos2002 (mythos2002)
Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 30
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. September, 2002 - 15:05: |
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Hi Juliane,
im Forum ist es üblich, für eine neue Frage einen neuen Thread (neues Thema) zu eröffnen und dieses nicht an ein vollkommen anderes Thema anzuhängen!
Ich will Dir selbstverständlich dennoch gerne helfen ...
Eine Skizze füge ich auch an!
Aufgabe:
Gegeben sei die Kurvenfunktion
fa(x) = x² - a*lnx, x > 0, a > 0
a)Untersuchen Sie fa auf Extrema und Wendepunkte
b)Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve der Extrema
c)Für welchen Wert von a berührt der Graph von fa bei der Extremalstelle die x-Achse?
d)Zeigen Sie, dass fa für 0 < a < 5 keine Nullstellen besitzt (Nutzen Sie die Resultate aus den vorhergehenden Aufgabenteilen).
a)
fa(x) = x² - a*lnx
fa'(x) = 2x - a/x [die Ableitung von lnx = 1/x]
fa'' = 2 + a/x² [a/x = a * 1/x, Abl. v. 1/x = Abl. v. x^(-1) = -1 * x^(-2) = -1/x²]
Extremwerte: fa' = 0
2x - a/x = 0
2x² = a
x = +sqrt(a/2)
y = (a/2)*[1 - ln(a/2)]; (x in fa einsetzen, sh. später)
Wert der 2. Ableitung bei sqrt(a/2): fa''(x ..) = 2 + 2 = 4, es liegt ein Minimum vor
Wendepunkte:
fa'' = 0
a/x² = -2
x² = -a/2 da a > 0, gibt es keine reelle Lösung, daher keinen Wendepunkt
b)
Für den Extremwert galt:
x = sqrt(a/2)
aus fa(x) = x² - a*lnx folgt:
y = a/2 - a*ln[sqrt(a/2)] =
= a/2 - (a/2)*ln(a/2) =
y = (a/2)*[1 - ln(a/2)]
=======================
x = sqrt(a/2)
y = (a/2)*[1 - ln(a/2)]
=======================
Das ist bereits die Gleichung der Ortskurve in Parameterform; für die parameterfreie Gleichung der Ortskurve muss a eliminiert werden:
a = 2x²
-> y = x²*(1 - lnx²), da lnx² = 2*lnx, ist
y = x² - 2x²*lnx
================
c)
Eine Berührung der x-Achse von fa bei der Extremalstelle findet dann statt, wenn y_extr = 0 ist, also
y = (a/2)*[1 - ln(a/2)] = 0
1 - ln(a/2) = 0
ln(a/2) = 1 (entlogarithmieren, 1 = ln(e))
a/2 = e
a = 2*e (= 5,44)
================
d)
Die Antwort darauf ist eigentlich schon in c) begründet. Bei der Berührung war
1 - ln(a/2) = 0; für weitere Schnittpunkte muss der y-Wert des Minimums < 0 sein!
1 - ln(a/2) < 0
ln(a/2) > 1
a/2 > e
a > 2e
=======
Denn erst ab a > 2*e schneidet der Graph die x-Achse. Es existieren demnach für 0 < a < 5 keine Nullstellen.
 }
Gr
mYthos |
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