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Junta
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. April, 2002 - 10:23: | 
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Bestimme u so, dass die Gerade durch P(u/0) und den Extrempunkt von f(x) die Fläche, die von f(x)=(x-2e)*ln(x) und der Abszisse eingeschlossen wird, halbiert.
Mein Ansatz:
Gerade g durch P und Tiefpunkt TP(e/-e):
y=e/(u-e)*x-(eu)/(u-e)
Ob ich die Gerade brauche, weiß ich nicht....
Schaut man sich nun den Graphen an, sieht man, dass die Gerade durch diese beiden Punkte wohl keine Parallele zur Ordinate wird.
Also besteht die eingeschlossene Fläche links von g unter f aus 2 Teilintegralen. Das Selbe trifft für den Flächeninhalt rechts dieser Gerade zu.
Also dachte ich mir, könnte ich mich beim Vergleich der beiden Halbflächen auf den Flächeninhalt von 1 bis TP und von u bis 2e beschränken, denn die Flächen von TP bis u jeweils rechts und links der Geraden g sind gleich groß.
Nun kann ich aber mit meinem Grundkurswissen f(x) nicht integrieren....
Überhaupt weiß ich nicht, ob mein Gedankengang bis hierhin überhaupt richtig is....
Bittel hilf mir jemand
cya :Ð |
A.K.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. April, 2002 - 09:41: |
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Hallo Junta
hier mein Lösungsvorschlag.
Zuerst die Fläche bestimmen, die f mit der x-Achse einschließt.
Dazu brauchst du die Nullstellen von f; also
f(x)=0 <=> (x-2e)*lnx=0
<=> x-2e=0 oder lnx=0
=> x=2e und x=1
A=ò1 2e[(x-2e)lnx]dx
=ò1 2e(xlnx-2elnx)dx
Laut Formelsammlung gilt:
ò(xlnx)dx=(1/2)x²(lnx-(1/2)) und
ò(lnx)dx=x(lnx-1)
Dies eingesetzt ergibt
A=|(1/2)x²(lnx-(1/2))-2ex(lnx-1)|2e1
=|(1/2)*4e²*(ln(2e)-(1/2))-2e*2e*(ln(2e)-1)
-[(1/2)*1*(ln1-(1/2))-2e*1*(ln1-1)]|
=|2e²*(ln2+lne-0,5)-4e²(ln2+lne-1)-[0,5*(0-0,5)-2e(0-1)]|
=|2e²*(ln2+0,5)-4e²(ln2)-[-0,25+2e]|
=|2e²ln2+e²-4e²ln2+0,25-2e|
=|e²-2e²ln2+0,25-2e|
=8,04
Nun berechne ich die linke Teilfläche in Abhängigkeit von u,
A(lins)=ò1 ef(x)dx-(Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks rechts der Geraden unterhalb der x-Achse mit den Katheten e-u und e)
A(links)=ò1 ef(x)dx-((e-u)*e/2)
=|(1/2)x²(lnx-(1/2))-2ex(lnx-1)|e1-(e²-eu)/2 (gleiche Stammfunktion wie oben)
=|0,5e²(lne-0,5)-2e²(lne-1)-[0,5(ln1-0,5)-2e(ln1-1)]|-((e²-eu)/2
=|0,5e²*0,5-(-0,25+2e)|-(e²-eu)/2
=|0,25e²+0,25-2e|-(e²-eu)/2
=3,34-(e²-eu)/2
Da nach Voraussetzung A(links)=A/2 sein soll, folgt
A(links)=8,04/2=4,02
<=> 3,34-(e²-eu)/2=4,02 |-3,34
<=>-(e²-eu)/2=0,68 |*(-2)
<=>e²-eu=-1,36 |:e
<=>e-u=0,5
<=> u=e-0,5=2,218
Bitte rechne alles nach.
Mfg K. |
Junta
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. April, 2002 - 11:23: |
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hmm, ich habs mal im GTR überprüft und komme nicht hin. Die Gerade würde dann etwa so lauten:
g(x)=y=e/(2.218-e)*x-2.218e/(2.218-e)
Und wenn man dann die Summe von Integral1: ò1 2.218 f(x) dx und Integral2: ò2.218 e g(x) dx berechnet, bekommt man knapp 2.7 und nicht 4.02 heraus.....
Vielleicht liegt dein Fehler an folgender Stelle:
" Nun berechne ich die linke Teilfläche in Abhängigkeit von u,
A(links)=ò1 ef(x) dx-(Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks rechts der Geraden unterhalb der x-Achse mit den Katheten e-u und e)"
...
Meine Vermutung ist, wenn du die linke Teilfläche in Abhängigkeit von u berechnest, musst du die Integrationsgrenzen 1 und u wählen und nicht 1 und e, denn das wäre ja die Teilfläche in Abhängigkeit des Tiefpunktes. Und da u ungleich e sein muss, ist das meiner Meinung nach falsch.
Gleichung der Geraden durch u und e:
g(x)=y=e/(u-e)*x-eu/(u-e) <------- wäre u = e, wäre der Anstieg nicht deifinert.
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A.K.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. April, 2002 - 12:43: |
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Hallo Junta
mein Rechenweg stimmt von der Logik her schon.
Nur hat sich leider ein Vorzeichenfehler eingeschlichen; und zwar hier:
A(links)=8,04/2=4,02
<=> 3,34-(e²-eu)/2=4,02 |-3,34
<=>-(e²-eu)/2=0,68 |*(-2)
<=>e²-eu=-1,36 |:e
<=>e-u=-0,5
<=> u=e+0,5=3,22
Jetzt müsste es passen.
Mfg K.
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