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Beitrag |
    
Daria
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. April, 2002 - 11:02: | 
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Hallo!
Ich lerne gerade fürs Abi (schreibe am Dienstag) und habe eine Aufgabe, mit der ich überhaupt nichts anfangen kann. Würde mich super freuen, wenn ihr mir dabei helfen könntet.
Also die Aufgabe lautet:
Die Tangenten an den Graphen der Funktion
f(x)= x^2-1: (x^2+2) in den Schnittpunkten dieses Graphen mit der x-Achse und die x-Achse begrenzen eine Fläche vollständig. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche.
Könntet ihr mir die Aufgabe vorrechnen und erklären (vielleicht mit Skizze)?
Ich bleibe schon bei der Bildung der Stammfunktion hängen.
Vielen Dank schon im Vorraus!!!
Schöne Grüsse,
Daria |
A.K.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. April, 2002 - 12:42: |
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Hallo Daria
f(x)=(x²-1)/(x²+2)
Schnittpunkte mit der x-Achse bestimmen; also Nullstellen
f(x)=0
<=> (x²-1)/(x²+2)=0
<=> x²-1=0
<=> x²=1
=> x=1 oder x=-1
Also sind die Nullstellen N1(-1|0) und N2(1|0)
Tangenten an f in den Nullstellen bestimmen:
Für die Steigung der Tangenten brauchen wir die 1. Ableitung in den Nullstellen; also
f'(x)=[2x(x²+2)-(x²-1)*2x]/(x²+2)²
=6x/(x²+2)²
=> f'(-1)=-6/(1+2)²=-6/9=-2/3=m1
und f'(1)=6/9=2/3=m2
Nun setzt du Punkt und Steigung in die allgemeine Geradengleichung y=mx+b ein.
N1(-1|0) und m1=-2/3
0=-1*(-2/3)+b <=> 0=2/3+b <=> b=-2/3
=> t1: y=-(2/3)x-(2/3)
N2(1|0) und m2=2/3
0=1*(2/3)+b <=> (2/3)+b=0 <=> b=-2/3
=> t2: y=(2/3)x-(2/3)
Damit schneiden sich die Tangenten auf der y-Achse im Punkt S(0|-2/3)
Die beiden Tangenten und die x-Achse im Bereich von [-1;1] bilden ein gleichschenkliges Dreieck.
Die Grundseite dieses Dreiecks hat die Länge 2 (Abstand zwischen den Nullstellen).
Die Höhe ist 2/3 (Abstand der x-Achse vom Tangentenschnittpunkt).
Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt also
A=g*h/2=2*(2/3)/2=2/3FE
Mfg K. |
Daria
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. April, 2002 - 18:49: |
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Hallo A.K.! Vielen Dank für Deine Hilfe! Hast mir sehr geholfen!!!
Gruß, Daria |
