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Spiegelung und Fußpunkte

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Geraden » Archiviert bis 16. November 2002 Archiviert bis Seite 1 » Spiegelung und Fußpunkte « Zurück Vor »

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Marian (marian)
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Junior Mitglied
Benutzername: marian

Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 09-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. April, 2002 - 19:52:   Beitrag drucken

Hallo alle zusammen,
es wäre super, wenn ihr mir bei folgender Aufgabe helfen könntet:
Die Gerade h' entsteht durch Spiegelung der Geraden h an der Ebene E1
h: x= (0/2/0) + r(2/1/2)
E1: x= (1/0/0) + u(2/1/2) + v(1/-1/4) bzw.
((x/y/z) - (1/0/0)) x [skalar] (2/2/1)=0
a) Ermitteln Sie die Gleichung von h'.
b) Vom Punkt P (1/0/0) aus werden Lote auf die Geraden h und h' gefällt. Die Fußpunkte der Lote heißen A und B.
c) Beweisen Sie, dass das Dreieck ABS gleichschenklig ist.
DANKE!
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Lars (thawk)
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Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: thawk

Nummer des Beitrags: 76
Registriert: 12-2000
Veröffentlicht am Freitag, den 19. April, 2002 - 09:24:   Beitrag drucken

Hi Marian.

Ich schreibe dir jetzt nur die Vorgehensweise, ausrechnen müsstest du das dann selbst:

zu a)
Eine Gerade ist ja durch zwei Punkte eindeutig bestimmt. Du suchst dir also zwei Punkte auf der Geraden h und spiegelst diese beiden Punkte an E1. Mit Hilfe der beiden Spiegelpunkte läßt sich dann die Gleichung für h' errechnen. Wie spiegelst du die Punkte?:

1.) Du stellst eine Gerade auf, die orthogonal auf der Ebene steht und durch deinen Geradenpunkt läuft (also praktisch das Lot vom Punkt auf die Ebene). Hierfür wählst du den Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor der gerade, den Punkt kannst du ja als Stützvektor einsetzen. Jetzt rechnest du dir den Schnittpunkt von der Lotgeraden und der Ebene aus. Du hast ja in deiner Geradengleichung einen Parameter, dieser beträgt für den oben genannten Schnittpunkt z.B. "3", dann musst du doppelt soweit gehen um den Spiegelpunkt zu erreichen, also: 2*3 = 6. Du setzt also 6 in die Geradengleichung ein und erhälst den Spiegelpunkt.

Damit du diese ganze Geschichte nicht zweimal durchrechnen musst ist es geschickt, wenn du dir erst den Schnittpunkt von Ebene und Gerade errechnest (soweit es einen gibt, Ebene und Gerade können ja auch parallel sein). Dieser Schnittpunkt wird dann natürlich auf sich selbst abgebildet, somit sparst du dir einmal die obigen Rechenschritte.

Wie du mittels zweier Punkte eine Geradengleichung aufstellst, müsstest du eigentlich wissen.

zu b)
Hier musst du zuerst eine Ebene aufstellen, die orthogonal auf h steht und durch den Punkt P läuft. Also wählst du die Normalenform: Der Richtungsvektor von h ist Normalenvektor der Ebene und der Punkt P ist Punkt der Ebene. Die Fußpunkte errechnest du dann als Schnittpunkt von Ebene und Gerade, also durch Gleichsetzen.
Das musst du natürlich für h un h' einzeln machen.

c)
Hier rechnest du dir die Länge der einzelnen Vektoren aus, die eine Dreiecksseite beschreiben. Zwei dieser Vektoren müssen gleich lang sein.


Ich hoffe, damit kommst du zurecht. Müsste aber eigentlich machbar sein.

Viel Erfolg!

Ciao, Lars

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