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Beitrag |
    
Nonus
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. April, 2002 - 18:01: | 
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Hallo,
Kann mir jemand bei der Lösung dieser Aufgabe helfen ?
Die Aufgabe lautet:
t1 und t2 sind beliebige, aufeinander senkrecht stehende
Tangenten der Parabel y^2 = 2 p x
d1 und d2 sind die Abstände des Brennpunktes der Parabel
von diesen Tangenten.
Man beweise die Relation
1 / d1^2 + 1 / d2^2 = 4 / p^2 ,
gültig für alle Paare orthogonaler Parabeltangenten.
Vielen Dank im voraus
MfG
Nonus
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. April, 2002 - 09:58: |
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Hi Nonus,
Zur Lösung Deiner interessanten, aber anspruchvollen
Aufgabe benötigen wir einige Sätze über
Parabeltangenten, die wenig bekannt sind.
Aus Platzgründen stellen wir diese Sätze zusammen,
ohne sie zu bewesen, man findet Herleitungen
in einschlägigen Lehrbüchern.
Zunächst zwei Sätze über einzelne Parabeltangenten.
(I)
Eine Tangente t der Parabel y^2 = 2 p x mit dem
Berührungspunkt P1(x1/y1) schneidet die y-Achse im
Punkt G(0 / ½ y1).
(II)
Fällt man vom Brennpunkt einer Parabel auf irgend
eine Tangente derselben das Lot (die Senkrechte),
so liegt der Fusspunkt G des Lotes auf der
Scheiteltangente,
also bei der Parabel y^2 = 2 p x mit F(½ p / 0)
auf der y-Achse.
Es folgen zwei Sätze über Parabeltangenten, welche
aufeinander senkrecht stehen.
(III)
Zwei orthogonale Parabeltangenten schneiden sich
in einem Punkt L der Leitgeraden (Direktrix) l der
Parabel., also bei der Parabel y^2 = 2 p x auf der
Parallelen x = - ½ p zur y-Achse.
(IV)
Für die x-Werte x1 , x2 der Berührungspunkte
P1 (x1/y1) und P2 (x2/y2) zweier senkrechter
Tangenten t1, t2 der Parabel y^2 = 2 p x
besteht die Relation
x1 * x2 = ¼ * p^2
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N.B. Bei den folgenden Berechnungen verwende ich
auch die Bezeichnung p = 2 c für den Parameter p der
Parabel; somit gilt die einfache Relation
c = ½ p, sodass nach (IV) gilt:
x1 * x2 = c^2
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Um die Idee zu fixieren und die obigen Sätze zu
illustrieren empfehle ich, für das numerischen Beispiel
y ^ 2 = 8 x , d.h.für p = 4 , c = 2
eine Zeichnung der Situation in einem rechtwinkligen
Koordinatensystem herzustellen.
Brennpunkt F(2/0), Leitgerade l : x = - 2.
Wahl einer Tangente t1: der Berührungspunkt sei
P1(8 / 8) ; Steigung m1 = ½ ,Gleichung y = ½ x + 4
Schnittpunkt G von t1 mit der y-Achse : G1(0 / 4)
Schnittpunkt L(-2 / 3) von t1 mit der Leitgeraden l.
Ermittlung der zu t1 senkrechten Tangente t2:
Steigung m2 von t2: m2 = -2, Gleichung y = -2 x –1
Berührungspunkt P2 ( ½ / -2).
t2 schneidet die y-Achse (Scheiteltangente) in G2 (0 /-1);
t2 schneidet die Leitgerade l und t1 nach Satz (III)
im Punkt L (-2 / 3).
F G1 steht nach Satz (II) auf t1 senkrecht ; die Länge
der Strecke FG1 repräsentiert also den Abstand d1
des Brennpunktes F von der Tangente t1.
Wir finden mit Pythagoras leicht:
d1 = wurzel(2^2 + 4^2) = wurzel(20)
F G2 steht nach Satz (II) auf t2 senkrecht ; die Länge
der Strecke FG2 repräsentiert den Abstand d2 des
Brennpunktes F von der Tangente t2.
Wir finden mit Pythagoras leicht:
d2 = wurzel(2^2 + 1^2) = wurzel(5).
Wir können die in Deiner Aufgabe formulierte
Relation für dieses Beispiel leicht bestätigen:
1 / d1^2 + 1 /d2 ^2 = 1/20 + 1/5 = 1/4 = 1/c^2 , also
1 / d1^2 + 1 /d2 ^2 = 4 / p^2.
Beachte noch folgende allgemeingültige Tatsache:
Das Viereck F G1 L G2 ist von Geburt ein Rechteck
mit den Seitenlängen d1 und d2.
Anregung
Wende auf das rechtwinklige Dreieck G1 F G2
(rechter Winkel beim Brennpunkt F) den Höhensatz an.
Resultat:
OF^2 = OG1 * OG2 , also
2 ^ 2 = y1 / 2 * abs( y2 / 2) = 4 * 1, wie es sein muss !
Du findest auch Satz (IV) bestätigt :
x1 * x2 = 8 * ½ = 4 = c^2. (bravo !)
Zum Beweis des Satzes IV:
.
Umwandlung des Produktes x1 * x2 mit Hilfe der
Parabelgleichung und Anwendung des Höhensatzes
im genannten rechtwinkligen Dreieck G1 F G2:
x1 * x2 = [y1^2 / 2p] *[y2^2/2p] =
= 4 / p^2 * [ ½ *y1]^2 * [ ½ *y2 ] ^2 =
= 4 / p^2 * [ ½ y1 * ½ y2 ] ^ 2 = (Höhensatz !)
= 4 / p^2 * [ (½ p)^2 ] ^ 2 = ¼ *p^2 = c^2 w.z.b.w.
Nun zur eigentlichen Herleitung des in Deiner Aufgabe
genannten Satzes, dem wir die Nummer V erteilen:
1 / d1^2 + 1 /d2 ^2 = 4 / p^2 = 1 / c^2…………………..(V)
Im rechtwinkligen Dreieck F G1 P1
(rechter Winkel bei F)
berechnen wir mit Pythagoras d1^2:
d1^2 = FG1^2 = FP1^2 – P1G1^2 =
(x1 – c)^2 + y1^2 – [x1^2 + (y1/2)^2] =
¾* y1^2 – 2 cx1 + c^2 = ¾ * 4 c x1 -2 cx1+ c^2
= c* (x1+c),
analog findet man:
d2 ^ 2 = c* (x2 + c)
Für die Summe S der reziproken Quadrate von
d1 und d2 bekommt man damit:
S = 1 / d1^2 + 1 / d2^2 = 1 / c(x1+c) +1 / c(x2+c) =
1/c*[(x1+x2+2 c) / {(x1*x2 + c(x1+x2 ) +c^2)}
Ersetzt man darin x1*x2 gemäss Satz (IV) durch c^2,
so erhält man nach ganz kurzer Rechnung das im
Text Deiner Aufgabe genannte Resultat
S = 1 / c^2 = 4 / p^2
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MfG
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. April, 2002 - 16:46: |
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Hi Nonus,
Wir können Deiner Aufgabe eine andere Gestalt geben
und sie im wahrsten Sinne des Wortes unter einem
anderen Blickwinkel sehen.
Wir formulieren so:
Von einer Schar Parabeln mit konstantem Parameter p
berührt jede sowohl die x-Achse als auch die y-Achse
eines rechtwinkligen Koordinatensystems.
Man ermittle die Ortskurve der Brennpunkte der Schar.
Resultat gemäss den Ausführungen im 1.Teil meiner
Arbeit:
die Gleichung der Ortskurve lautet:
1 / x^2 + 1 / y^2 = 4 / p^2.
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Man kann diese Variante Deiner Aufgabe auch direkt
lösen und zwar durch Drehung und Parallelverschiebung
des Koordinatensystems.
Das geht sehr gut !
Ganz am Schluss erhält man von der Ortkurve die
Parameterdarstellung:
x = c / cos t , y = c / sin t mit c = ½ * p wie bisher;
geometrische Bedeutung des Parameters t:
t ist der Richtungswinkel einer
Parabelachse bezüglich der positiven x-Achse.
So weit !
MfG
H.R.Moser,megamath
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Nonus
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. April, 2002 - 08:42: |
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Hallo H.R.Moser,megamath
Deine Lösung meiner Aufgabe hat mir
sehr geholfen.
Herzlichen Dank !
MFG
Nonus
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