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Beitrag |
    
Johannes
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. November, 2000 - 12:15: | 
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Bestimme 3 Ebenengleichungen (in Koordinatenform), die durch den Ursprung gehen und zum Punkt M(3|-1|7) den Abstand 5 haben.
Meine Ansätze gehen alle in Leere, ich habe mit
der Kugelgleichung und Tangetialgleichung der Ebene hantiert, aber mir fehlt einfach der Ursprungsvektor b, also ein Punkt auf der Kugel.
Dann stellt sich die Frage wie man gleich drei dieser Ebenengleichungen erhält...
Wer kann mir weiterhelfen? Schon jetzt vielen Dank!
Gruß
Johannes |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. November, 2000 - 21:45: |
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Hi Johannes,
Es gibt unendlich viele Ebenen der verlangten Art.
Alle diese Ebenen sind Tangentialebenen eines
Rotationsgels mit Spitze im Nullpunkt O
und der Achse OM , welcher die Kugel k mit dem
Mittelpunkt M und dem Radius r = 5 berührt, eines
sogenannten Berührungskegels der Kugel.
Es sollte uns daher nicht allzu schwer fallen , "bloss"
drei solche Ebenen explizit anzugeben !
Bei den folgende Berechnungen ergeben sich fast
von selbst folgende vier Ebenen:
E1: 7x + 4y + 4z = 0
E2: x + 2y + 2z = 0
E3 : 2x - 2y + z = 0
E4 : 11x - 16 y + 8z = 0.
Dabei habe ich nach Lösungen gesucht,bei denen
alle Koeffizienten ganzzahlig sind.
Du kannst die Kontrolle machen :
Wie man sofort sieht, gehen alle Ebenen durch O
Mit der Formel von Hesse kontrollierst Du , ob die Ebenen
Je den Abstand 5 haben. Auch dieser Test fällt positiv aus
Die Gleichungen sind der Reihe nach mit
wurzel(7^2+4^2+4^2) = wurzel(81) =9
wurzel(1^2+2^2+2^2) = wurzel(9) = 3
wurzel(2^2+2^2+1^2) = wurzel(9) = 3
wurzel(11^2+16^2+8^2)= wurzel(441) = 21
zu dividieren, dann sind die Koordinaten x,y,z durch
die entsprechenden Koordinaten von M zu ersetzen
Der Absolutbetrag der linken Seiten der Normalformen
ergibt jedesmal 5 - wie es sein muss.
Lösungsgang
In der allgemeinen Gleichung einer Ebene E
ax + by + cz + d = 0 ist d = 0 , weil E durch O geht
Ferner normieren wir einen der übrigen Koeffizienten,
etwa c mit eins .
Somit gilt als Ansatz für E:
ax + by + z = 0
Wir bringen diese Gleichung auf die Hesse-Normalform ;
diese lautet:
(ax + by + z ) / wurzel (a ^ 2 + b ^ 2 + 1 ) = 0
Nun setzen für x , y ,z wir die Koordinaten von M ein ;
Die linke Seite hat dann den Wert 5 und es entsteht
Nach Wegschaffung des Nenners die Gleichung
3a -b + 7 = 5 * wurzel(a^2 + b^2 + 1).....................(I)
Wir behandeln b als Parameter und wählen für b geeignete
Werte, setzen diesen in die letzte Gleichung ein und lösen
sie nach a auf.
Eine zahlentheoretische Untersuchung ,die ich Dir lieber
vorenthalte, zeigt, dass es b-Werte gibt, für welche a
rational wird ;
dazu gehören die Werte b = 1 und b = -2, wie die folgende
Rechnung zeigt:
1) b = 1 führt nach dem Quadrieren von (I) auf die
quadratische Gleichung für a:
8 a ^ 2 -18 a + 7 = 0 mit den Lösungen a1 = 7/4 , a2 = ½
Das gibt die Ebenen E1 und E2 von oben
2) b = - 2 gibt die Gleichung
8 a ^ 2 - 27 a + 22 = 0 mit den Lösungen
a3 = 2 , a4 = 11 / 8. ; das gibt die Ebenen E3 und E4 .
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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