    
Peter
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. April, 2002 - 17:09: | 
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Hallo Franzi,
erst mal haben wir's mit einer Parabel 3. Ordnung zu tun, also hat f(x) die Form:
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
Auf Vorrat schon mal die Ableitungen:
f'(x)=3ax^2+2bx+c
f''(x)=6ax+2b
Jetzt brauchen wir 4 Infos, um die 4 Variablen eindeutig bestimmen zu können.
1. Bedingung: Der Graph geht durch den Ursprung, d.h. enthält den Punkt O(0/0) oder noch kürzer:
f(0)=0 === einsetzen ===> d=0
2. Bedingung: Hat bei 1 einen Wendepunkt; notw. Bed. für WP ist f''(xw)=0, also f''(1)=0 ===>
6a + 2b = 0
3. Bedingung: der Punkt (1/-2) liegt auf dem Graphen, d.h. f(1)=-2 ===> a + b + c + d =-2
4. Bedingung erfordert etwas Vorarbeit, wir brauchen erst die Steigung der Wendetangente. Wendepunkt war (1/-2), die STeigung dort errechnen wir mit der 1. Ableitung m=f'(1)= 3a + 2b + c.
Andererseits kennen wir zwei Punkte der WT, nämlich (1/-2) und (2/0) daraus ergibt sich die Steigung m=(0-(-2))/(2-1)= 2
Damit haben wir: 3a + 2b + c = 2
Da wir aus der ersten Info direkt d=0 haben, brauchen wir nur noch ein LGS mit 3 Gl und 3 Var zu lösen:
6a + 2b
a + b + c = -2
3a + 2b + c = 2
6a + 2b = 0
2a + b = 4
a + b + c = -2
2a = -8
2a + b = 4
a + b + c = -2
a=-4
b = 12
c = -10
d = 0
f(x)=-4x^3+12x^2-10x
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f''(2) hieße bei 2 ein möglicher Wendepunkt! Warum?
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Damit die Parabel einen Wendepunkt haben kann, muss sie mindesten 3. Grades sein. Zudem ist die Steigung in -2 gleich Null
Ansatz wie eben
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
Auf Vorrat schon mal die Ableitungen:
f'(x)=3ax^2+2bx+c
f''(x)=6ax+2b
f''(-2)=0 => -12a + 2b = 0
f(-2)=2 => -8a + 4b - 2c + d = 2
f'(-2)=0 => 12a - 4b + c = 0
Es gibt beliebig viele Lösungen, da das LGS unterbesetimmt ist
Wenn man's ausrechnet:
a=1/12; b=1/2; c=(3d-2)/6 und d beliebig
Gruß
Peter |
