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Wurzel aus komplexen Zahlen

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Komplexe Zahlen » Archiviert bis 03. Oktober 2002 Archiviert bis Seite 1 » Wurzel aus komplexen Zahlen « Zurück Vor »

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peter
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 14. April, 2002 - 21:27:   Beitrag drucken

Wie berechnet man Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen?
In einem Beitrag des Boards folgende Formel gefunden (W steht für Wurzel aus):

Wurzel von z=W|z|*(z+|z|)/(|z+|z||)

Ist diese Formel die einzige Möglichkeit?

Suche Lösung für einfache komplexe Zahlen wie z.B.:
Wurzel aus 6-8i bzw Wurzel aus -3+6i

Vielen Dank für die Hilfe.
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allons chlor
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 15. April, 2002 - 00:49:   Beitrag drucken

Möglichkeit 1:
Ansatz w = (x+y*i)
=> z = w² = (x²-y²) + 2xy*i
Realteil und Imaginaerteil vergleichen; das führt auf zwei Gleichungen für die zwei unbekannten x und y; dieses GLS lösen; fertig

Möglichkeit 2:
z in die Polarform umformen: z = |z|*E(phi),
wobei für der Winkel phi gilt: tan(phi) = Imaginaerteil(z)/Realteil(z)
Beachte: phi ist größer 180° (oder größer pi), falls Imaginaerteil(z)<0 ist!
Dann ist w1=Wurzel(|z|)*E(phi/2) und w2=Wurzel(|z|)*E(180°+phi/2)
zurück zur Normalform kommst Du über die Gleichung E(alpha) = cos(alpha) + i*sin(alpha)

Allons chlor?
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peter
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 16. April, 2002 - 21:32:   Beitrag drucken

Erstmal danke für die 2 Erklärungen.
Könntest du eines der oben genannten Zahlenbsp. durchgerechnet zeigen, damit ich sehen kann ob ich das wirklich richtig verstanden habe? das wäre sehr nett. (nach Methode 1)

mfG
Peter
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Fern
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. April, 2002 - 13:17:   Beitrag drucken

Dummy um die Grauzone zu vermeiden
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Fern
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. April, 2002 - 13:19:   Beitrag drucken

Hallo Peter,
z=Ö(6-8i)

Zunächst betrachten wir die allgemeine Zahl z=x+yi
und berechnen von z² den Realteil, den Imaginärteil und den Modul.

z²=(x+yi)² = x²-y² + 2xyi
also ist Re(z²) = x²-y² und Im(z²) = 2xy

|z| = Ö(x²+y²)
|z²| = |z|² = x²+y²
============================
Jetzt das Gleiche mit unserer Zahl z² = 6-8i
Re(z²) = 6
Im(z²) = -8
|z²| = Ö(36 + 64) = 10
=====================
Ein Vergleich ergibt:
x² - y² = 6 ............... [1]
2xy = -8 ..................[2]
x² + y² = 10 ............[3]
==============
[1] + [3] ergibt: x² = 8
[1] - [3] ergibt: y² = 2

also: x = 2Ö2 und y = Ö2
und unsere gesuchte Zahl:

z = x + iy = Ö(6 - 8i) = 2Ö2 + iÖ2
=========================================

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