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Hannes Dräger (hand)
Neues Mitglied
Benutzername: hand
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. April, 2002 - 18:00: | 
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Ich habe eine Funktion gegeben:
ft(x)=((x/t) + 1)*e^(t-x)'oh mann
Jetzt soll ich:
- Asymptoten, Extrem- und Wendepkt untersuchen
- für jedes t>0 hat das Schaubild von ft mit f't genau ein Schnittpkt,Beweise
- für welchen Wert von t ist die Länge am kleinsten
- f1(x),die x-Achse und die Gerade x=u mit u>-1 schließen Fläche ein -> A(u) |
Poltergeist
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. April, 2002 - 10:05: |
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Welche Länge?
Schreib die Funktion mal richtig auf. |
A.K.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. April, 2002 - 10:45: |
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Hallo Hannes
ft(x)=((x/t)+1)*et-x
lim(x->oo)ft(x)=0 und lim(x->-oo)ft(x)=-oo
=> Asymptote: x=0
Ableitungen:
ft'(x)=(1/t)*et-x+((x/t)+1)*(-et-x)
=((1/t)-((x/t)+1))*et-x
=((1/t)-(x/t)-1)*et-x
ft"(x)=(-1/t)*ex-t+((1/t)-(x/t)-1)*(-et-x)
=((-1/t)-((1/t)-(x/t)-1))*et-x
=(-(2/t)+(x/t)+1)*et-x
ft"'(x)=(1/t)*et-x+(-(2/t)+(x/t)+1)*(-et-x)
=((1/t)-(-(2/t)+(x/t)+1))*et-x
=((3/t)-(x/t)-1)*et-x
Extrema: ft'(x)=0
<=> ((1/t)-(x/t)-1)*et-x=0
=> (1/t)-(x/t)-1=0 |*t
<=> 1-x-t=0 |+x
<=> x=1-t
=> ft(1-t)=((1-t)/t+1)*et-(1-t)
=(1/t)*e2t-1
und damit E(1-t|(1/t)*e2t-1)
Für t<0>0 ist E ein Maximum.
Wendepunkte: ft"(x)=0
<=> ((-2/t)+(x/t)+1)*et-x=0
=> (-2/t)+(x/t)+1=0 |*t
<=> -2+x+t=0 |-t+2
<=> x=2-t
=> ft(2-t)=((2-t)/t+1)*et-(2-t)
=(2/t)*e2t-2
=> möglicher Wendepunkt W(2-t|(2/t)*e2t-2)
Wegen ft"'(2-t)=(3/t-(2-t)/t-1)*e2t-2
=(3/t-2/t+1-1)*e2t-2
=(1/t)*e2t-2<>0 für t<>0 ist W Wendepunkt.
Schnittpunkt ft(x) mit ft'(x)
(x/t+1)*et-x=(1/t-x/t)-1)*et-x |:et-x
<=> x/t+1=1/t-x/t-1 |*t
<=> x+t=1-x-t |+x
<=> 2x+t=1-t |-t
<=> 2x=1-2t |:2
<=> x=(1-2t)/2
also ein Schnittpunkt.
Welche Länge ist gemeint?
Fläche:
f1(x)=f(x)=(x-1)*e1-x
Diese Funktion hat eine Nullstelle bei N(-1|0)
=> A=ò-1 uf(x)
=ò-1 u[x*e1-x-e1-x]dx
Partielle integration des 1. Summanden mit
a=x => a'=1 und
b'=e1-x => b=-e1-x
Die Stammfunktion lautet also:
F(x)=-xe1-x-ò(-e1-x)dx-(-e1-x)
=-xe1-x+òe1-xdx+e1-x
=-xe1-x-e1-x+e1-x
=-xe1-x
=> A(u)=|-xe1-x|u-1
=-ue1-u-(-1)e1-(-1)
=-ue1-u+e²
Mfg K. |
