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Roman
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. April, 2002 - 12:47: | 
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Hallo,
Kann mir jemand helfen, die folgende Extremalaufgabe
zu lösen ?
A und B sind zwei Punkte auf einem Kreis, dessen
Mittelpunkt C und dessen Radius a ist ;
r sei der Radius des Inkreises des Dreiecks ABC.
Man berechne den Maximalwert von r (genauer Wert).
Vielen Dank zum voraus.
mfG
Roman
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. April, 2002 - 15:26: |
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Hi Roman,
Bezeichnungen:
Mit t sei der halbe Winkel bei der Spitze C des
gleichschenkligen Dreiecks ABC bezeichnet.
Der Kreisradius a stimmt mit der Schenkellänge
überein:
AC = BC = a.
b sei die halbe Basislänge, somit
AB = 2 b
h sei die Höhe zur Basis (Höhe von C aus).
Zur Berechnung des Inkreisradius r gehen wir von der
Formel
r = F / s aus , wobei mit F der Flächeninhalt des Dreiecks
bezeichnet wird und mit s der halbe Umfang des Dreiecks.
Es gelten die Beziehungen:
F = b* h , s = a + b
b = a * sin t , h = a * cos t.
Der Radius des Inkreises ist somit
r = b * h / ( a + b) = a * sin t * cos t / ( 1 + sin t)
Wir untersuchen die Funktion
f(t) = sin t * cos t / ( 1 + sin t) im Intervall [0, ½ Pi]
Mit Hilfe der Quotientenregel ermitteln wir die
erste Ableitung f´(t)
f´(t) =
[(1+sint){(cos t)^2 – (sin t)^2}- sint *(cos t)^2] / (1+sin t)^2
Der vereinfachte Zähler Z(t) lautet:
Z(t) = (cos t)^2 – (sin t)^2 – (sin t)^3.
Um die Nullstellen von Z(t) und damit auch diejenigen
der Ableitung f´(t) zu finden, substituieren wir
sin t = z ; wir erhalten die kubische Gleichung in z :
z ^ 3 + 2* z^2 – 1 = 0 mit den Lösungen
z1 = - 1, z2 = ½ * (wurzel(5) -1), z3 = ½ * (-wurzel(5)-1)
Für die Lösung der vorliegenden Aufgabe taugt nur z2, also
z = sin t = ½ * (wurzel(5) -1), daraus t ~ 38,17°
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Am Resultat ist bemerkenswert:
z stimmt mit dem grösseren Abschnitt der nach dem
goldenen Schnitt geteilten Einheitsstrecke 1 überein !
Bezeichnet man diesen Abschnitt mit u,
den Reziprokwert 1/u mit v , so gelten folgende
Relationen:
u = ½ * (wurzel(5) -1) ~ 0,618
v = ½ * (wurzel(5) +1) ~ 1,618
v = u + 1
u * v = 1
u^2 = 1 – u ;
u^3 = 2 u - 1 ;
u^4 = 2 – 3 * u ,
u^5 = 5 u – 3 ..............
Nun lässt sich mit sin t = u der Maximalwert von r
leicht berechnen, wenn man beachtet, dass gilt:
cos t = wurzel(1-u^2) = wurzel (u) ,sowie
1/(1+u) = 1/v = u
r max = a*u*wurzel(u) / (1+u) = a*u^2 *wurzel(u)
r max = a*wurzel(u^5) = a*wurzel(5*u – 3) oder:
r max = ½ * a * wurzel [10*wurzel(5) –22 ] ~ 0,3003*a
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MfG
H.R.Moser,megamath
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Roman
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. April, 2002 - 06:55: |
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Hallo H.R.Moser,megamath
Für Deine ausführliche und sehr lehrreiche Lösung
meiner Aufgabe möchte ich Dir herzlich danken !
Roman
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