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Sandra (sandrah)
Neues Mitglied
Benutzername: sandrah
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. April, 2002 - 15:38: | 
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In einem halbkreisförmigen Bogen soll ein rechteckiges Fenster (Maße X und Y) mit möglichst großer Fensterfläche eingesetzt werden. Bestimme die Maße X und Y so, dass die Fläche des Fensters möglichst groß ist. Radius des Kreises ist 1 Meter. |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 75
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. April, 2002 - 16:43: |
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beide oberen Ecken des Fensters werden auf dem Kreisbogen liegen (sonst liesse sich das Fenster noch größer machen) und gleichweit vom Mittelpunk entfernt. Der Bogenmittelpunkt ist auch der Mittelpunkt der unteren wagrechten Fensterkante.
Die halbe untere Fensterkante x = X/2 und eine Senkrechte Kante Y sind also Katheten eines re.wi.3ecks mit der Hypothenuse r = 1 Meter (Radius des Bogens)
also x²+Y² = 1, Y = Wurzel(1-x²)
Fläche F(x) = 2*x*Wurzel(1-x²)
Für F(x) ist nun F'(x)=0 auzulösen um ein Extremum zu finden
F'(x)=2*[1*Wurzel(1-x²) -x/Wurzel(1-x²)] = 0
Wurzel(1-x²) = x/Wurzel(1-x²); 1-x² = x; x²+x-1 = 0;
x = -1/2 ±Wurzel(5/4) = (±Wurzel(5)-1)/2;
da
| -Wurzel(5) - 1|/2 > 1, also größer als der Bogenradius wäre,
kann nur die folgend Lösung gelten
X = 2x = Wurzel(5)-1, Y = Wurzel(1-x²)= Wurzel(x) |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 77
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. April, 2002 - 23:09: |
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Korrektur(danke, Elisabeth Pokorny)
F'(x)=2*[1*Wurzel(1-x²)-x²/Wurzel(1-x²)]
Wurzel(1-x²) = x²/Wurzel(1-x²)
1-x² = x²; x = Wurzel(2) / 2
X = Wurzel(2)
Y = Wurzel(2) / 2
es geht aber auch noch einfacher,
ohne Differenzieren
x = cosu, Y = sinu
F = 2 * sinu * cos u = sin(2u)
der kann maximal 1 werden, 2u muss dann 90°
sein,
also u = 45° und sinu = cosu = Wurzel(2)/2 |
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