| Autor |
Beitrag |
    
Ronald
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. April, 2002 - 15:42: | 
|
Kann mir irgendjemand beim lösen dieser Differentialgleicheung 2.Grades helfen?
y" = wurzel(1+y'²) |
Elfriede
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. April, 2002 - 17:18: |
|
Hallo Ronald,
was bezweckst du denn mit so einer Überschrift? |
Schütz Ronald (sron1)
Neues Mitglied
Benutzername: sron1
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. April, 2002 - 17:24: |
|
bevorst deppat redst schreib ma lieber a lösung |
Nonkonformist
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. April, 2002 - 01:15: |
|
Hallo Ronald, da y nur in seinen Ableitungen vorkommt, kann man erstmal einen Strich weglassen:
y' = Ö(1+y²)
und erstmal diese Gleichung lösen mit y'=dy/dx lassen sich die Variablen trennen, so dass es weiter heißt:
òdy/Ö(1+y²) = òdx
Das Integral òdy/Ö(1+y²)
kann durch Substituion gelöst werden:
òdy/Ö(1+y²) mit y=(ez-e-z)/2 und dy = (ez+e-z)/2 dz
= ò(ez+e-z)/2 dz/Ö(1+((ez-e-z)/2)²)
Es ist 2y=ez-e-z |*ez => 2yez = e2z-1 =>
0 = e2z -2yez-1 => ez = y + (y²+1)½ => z=ln(y + (y²+1)½)
im Nenner des Integranden steht unter der Wurzel der Radikand 1+( (ez-e-z)/2 )² = ( 4+ e2z -2 +e-2z)/4 = ( e2z +2 +e-2z)/4 = ( (ez+e-z)/2 )²
also ist (ez+e-z)/2 dz
= ò(ez+e-z)/2 dz/Ö( (ez+e-z)/2 )²
= ò(ez+e-z)/2 dz/( (ez+e-z)/2 )
= ò(ez+e-z) dz/(ez+e-z)
= ò1dz
= z
= ln(y + (y²+1)½)
Eine Stammfunktion von 1/Ö(1+y²) ist also ln(y + Ö(1+y²)), so dass mit Integrationskonstante ¢ gilt:
ln(y + Ö(1+y²)) = x + ¢
und mit exp(¢)=c dann:
y + Ö(1+y²) = c*exp(x) |-y
Ö(1+y²) = c*exp(x) - y |quadrieren
1 + y² = c²exp(x)² - 2c*exp(x)*y + y² |-y² +2c*exp(x)*y -1
2c*exp(x)*y = c²exp(x)² -1 | : (2c*exp(x))
y = ½c*exp(x) - exp(-x)/(2c)
Nun kommt der vorher beim y weggelassene Strich wieder dran:
y' = ½c*exp(x) - exp(-x)/(2c)
diese Gleichung nochmal integrieren:
dy = { ½c*exp(x) - exp(-x)/(2c) }dx
y = ½c*exp(x) + exp(-x)/(2c) + b
mit zweiter Integrationskonstante b
Fertig.
Es ist schon eine sehr anspruchsvolle Aufgabe für die Klassen 12/13, aber das ist in wohl so und ist auch gut so.
Da fällt mir ein:
I hob a Bitt an di, Ronald:
Wannst schon wähln derfst, tust mir an Gfolln und sorgst dfür, dass koaner von dana Spezis im Herbst dan depperten Stoiber wuihlt? (un PDS auch nicht?)
Denn sonst konn i noher mei Internetgebührn ni mehr bezohln unds gibt koane Lösung nia mehr von miar nicht.
Dann wuil i aa di nixsognde Überschrift no ma gelten lossn.
Host mi?
|
Schütz Ronald (sron1)
Neues Mitglied
Benutzername: sron1
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. April, 2002 - 12:24: |
|
danke |
Nonkonformist
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. September, 2002 - 18:17: |
|
Ronald, i bin enttoischt von dia un dana Spezis
von mia gibts koane Lösungen mi
|
