| Autor |
Beitrag |
    
Heike (Taki)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 13:40: | 
|
Gegeben sind Funktionen fa durch fa(x) = -x*ln(ax^2) (aER; a>0; xEDfa).
a) - größtmöglicher Definitionsbereich
Zeigen, warum fa ungerade
Nullstellen
Extrempunkte (welche Art)
Ortskurve
b) Zeigen, dass die Graphen von fa keine gemeinsamen Punkte besitzen
c) Es gibt genau eine Gerade mit der Gleichung y=c (cER, c>0), die mit dem Graphen
der Funktion f0,1 genau zwei Punkte P1 und P2 gemeinsam hat. Ermitteln Sie die Länge der Strecke P1P2.
d) Für jedes a existiert eine Tangente ta an den Graphen der Funktion fa im Schnittpunkt S(x>0; 0) des Graphen mit der x-Achse. =>Gleichung von ta
Durch x-Achse, ta und durch die Gerade, die durch den Koordinatenursprung und den jeweiligen lokalen Maximumpunkt bestimmt ist, wird für jedes a ein Dreieck begrenzt.
Weisen Sie nach, dass alle so gebildeten Dreiecke zueinander ähnlich sind.
Weiterhin sind Funktionen hat durch ht(x)=(2x)/(x^2+t^2) (tER, t ungleich 0; xER) gegeben.
e) Durch die Graphen der Funktionen f0,1, h2 und die Geraden mit den Gleichungen x=1 und x=2 wird eine Fläche vollständig begrenzt.
Ermitteln Sie unter Verwendung der für die Funktionen fa existierenden Stammfunktionen Fa den Inhalt dieser Fläche.
f) Für jede Funktion hat wird für jedes x (xER, x>0) durch die Punkte O (0;0), Q(x;0) und Pt(x; ht(x)) genau ein rechtwinkliges Dreieck bestimmt. Jedes dieser Dreiecke erzeugt bei Rotation um die x-Achse einen geraden Kreiskegel. Berechnen Sie die Stelle x1 in Abhängigkeit von t, für die das Volumen des zugehörigen Kreiskegels maximal ist. |
Tom
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 14:07: |
|
Hallo Heike,
zunächst mal (a)
größtmöglicher Definitionsbereich : alle reellen Zahlen außer 0, da ln(0) nicht definiert ist.
fa ungerade, da
fa(x)= x*ln(ax²) = - [(-x)*ln(a(-x)²)] = -fa(-x)
Nullstellen
x*ln(ax²) = 0
da x nixht 0 sein darf, kann nur ln(ax²) zu 0 werden und das geht nur, wenn ax²=1
also x1=wurzel(1/a) und x2=-wurzel{1/a}
Extrempunkte
1. Ableitung bilden
f´a(x)= ln(ax²)+ x*(1/(ax²))*2ax = ln(ax²) + 2
gleich 0 setzen
ln(ax²)+2=0
ln(ax²)=-2
eln(ax²)=e-2
ax²=e-2
x²=e-2/a
x1=wurzel(e-2/a)
x2=-wurzel(e-2/a)
zweite Ableitung bilden
f´´a(x)= 1/(ax²)*2ax = 2/x
x1 und x2 einsetzen
f´´a(x1)>0, da wurzel(e-2/a)>0 (e-Funktion immer >0 und a nach Voraussetzung >0)
f´´a(x2)<0, da -wurzel(..).
kleine Anmerkung, die Wurzeln bei den Nullstellen und den Extremwerten sind definiert, weil a>0 ist.
bei x1=wurzel(e-2/a) liegt ein Minimum und bei x2=-wurzel(e-2/a) ein Maximum vor.
Gruss
Tom |
Tom
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 14:10: |
|
Mist, ich habe ein Minus in der Angabe übersehen.
Das musst Du überall einfügen. Ansonsten müssten die Rechnungen stimmen...
Gruss
Tom |
Tom
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 14:16: |
|
Aufgabe (b)
man nimmt zwei verschiedene a, also a1 ungleich a2
wenn die Funktionen fa1 und fa2 gemeinsame Punkte hätten, muß gelten
fa1 = fa2
-x*ln(a1x²) = -x*ln(a2x²)
da x ungleich 0, kann man durch x dividieren
ln(a1x²) = ln(a2x²)
eln(a1x²) = eln(a2x²)
a1x² = a2x²
durch x² dividieren
a1 = a2
das ist aber ein Widerspruch, da wir a1 ungleich a2 angenommen hatten... |
Heike (Taki)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. November, 2000 - 21:21: |
|
Tom, ich danke dir!!! |
Thomas (Freak)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 21:11: |
|
Hey Heike hab dich gefunden! |
|
