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isabel
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. November, 2000 - 19:49: | 
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wie bestimmt man die definitionsmenge und lösungsmenge einer ungleichung, wo sich variablen im nenner befinden
z.B x+3
----- < 5
4x-2 |
Thomas Werner
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. November, 2000 - 07:02: |
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Hi Isabel!
Die Definitionsmenge bekommst du, indem du nachprüfst, bei welchen Werten der Variable die auftretenden Nenner zu Null werden - im Beispiel der Nenner (4x-2). Die Division durch Null ist nicht definiert, und der x-Wert, für den ein solcher Fall eintritt, ist deshalb eine Definitionslücke. Es muss also gelten:
4x - 2 = 0 | +2
4x = 2 | :4
x = 1/2
Die Ungleichung hat also eine Definitionslücke bei x = 1/2.
Die Lösungsmenge der Ungleichung erhältst du, indem du die Ungleichung mit dem Nenner durchmultiplizierst. Jetzt ist es wichtig eine Fallunterscheidung zu machen, weil der Nenner positiv oder negativ sein kann, wenn du aber eine Ungleichung mit einer negativen Zahl malnimmst, dann muss das Ungleichheitszeichen umgedreht werden, z.B. 2<3 mal (-1) ergibt (-2)>(-3).
1. Fall
(4x-2)>0, es muss also x > 1/2 sein
x + 3 < 5 * (4x - 2)
x + 3 < 20x - 10 | -x
3 < 19x - 10 | +10
13 < 19x | :19
13/19 < x
Im Fall 1 muss also x > 1/2 sein, damit dieser Fall überhaupt eintritt, und gleichzeitig muss x > 13/19 sein, und die Ungleichung zu lösen. Beide Bedingungen werden von einem x > 13/19 erfüllt.
Lösungsmenge1 = {x|x > 13/19}
2. Fall
(4x-2)<0, also x < 1/2
x + 3 > 5 * (4x - 2) (Ungleichheitszeichen umgedreht, weil ich mit etwas Negativem durchmultipliziert habe)
x + 3 > 20x - 10 |Umformungen wie oben
...
13/19 > x
Um die Gleichung zu lösen muss x im zweiten Fall also kleiner als 1/2 sein, um den zweiten Fall überhaupt zu erreichen, gleichzeitig aber auch kleiner als 13/19, um die Ungleichung zu lösen. Die Lösungsmenge2 ist also {x|x < 1/2}.
Die gesamte Lösungsmenge der Ungleichung ist die Vereinigung der beiden Teillösungsmengen aus Fall 1 und Fall 2.
Lösungsmenge = {x|(x < 1/2)} u {x|x > 13/19} oder
Lösungsmenge = {x|(x < 1/2 v (x > 13/19)}
Thomas |
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